重载列车引起的大跨度斜拉桥拉索振动研究
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作者:朱志辉 刘宇 龚威 康厚军 敬海泉
摘要：采用子结构法研究了重载列车引起的大跨度铁路斜拉桥拉索非线性振动问题。首先基于线性桥梁空间有限元模型，采用车一桥耦合动力学理论计算得到斜拉索锚固点动力响应;然后将该动力响应作为斜拉索端部激励，采用自编的基于CR列式法（Co-rotational Formulation）的拉索非线性动力有限元程序，计算斜拉索非线性动力响应。以荆岳铁路洞庭湖三塔斜拉桥为例，开展了车致斜拉桥拉索振动分析，结果表明：在设计时速范围内，重载列车作用下，斜拉桥索端激励与拉索固有频率两者不存在明显的匹配关系，车致拉索振动响应为一个准静态过程;通过进一步对比不同计算方案，即车一桥耦合振动、移动轴重瞬态分析与移动轴重影响线加载对拉索响应的影响，发现对于大跨度铁路斜拉桥而言，由于车一桥耦合振动效应不显著，采用移动轴重影响线加载方法得到的拉索应力结果具有足够精度。
关键词：非线性振动;斜拉索;车一桥耦合振动;动力有限元方法
中图分类号：0322;U448.27 文献标志码：A 文章编号：1004-4523（2020）01-0149-09
DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.01.017
引言
斜拉索作為斜拉桥的主要受力构件之一，具有刚度小、阻尼小、质量小的特点，容易在风、列车或地震荷载等激励源作用下发生振动，影响桥梁结构安全、使用性能和寿命。关于斜拉索在交通荷载下的振动问题已有较多研究。Das等研究了不同路面粗糙度下移动车辆荷载造成的斜拉桥动力冲击效应;王涛等建立了简化的非线性桥梁模型，研究了列车通过时的索一梁相关振动关系;zhang等采用有限元法研究了斜拉桥在车辆荷载作用下的动力响应，并通过子结构法分析了斜拉索的局部振动;zhou等在考虑风荷载以及车辆交通荷载情况下，对比了等效静力方法与非线性动力方法得到的索力值。现有研究主要针对公路斜拉桥以及客运铁路斜拉桥的车致拉索振动问题，由于斜拉桥在重载铁路中尚无应用案例，关于重载铁路斜拉桥的车致拉索振动问题的相关研究还较少。同时，相较于汽车和客运列车，货运重载列车具有轴重大、编组长的特点，因此需要针对大跨度铁路斜拉桥在重载列车作用下的拉索振动响应开展研究。
以往在研究斜拉桥车致振动响应时，所建立的列车一轨道一桥梁耦合模型通常不考虑桥梁几何非线性。当考虑斜拉索非线性振动时，不管是车一桥耦合振动的全耦合分析方法或者分离迭代分析法，都需要在每一步更新耦合系统整体刚度矩阵或者进行平衡迭代，导致计算分析难度大、计算效率低。现有的车致斜拉桥拉索振动研究表明，在车辆或列车荷载作用下，斜拉桥拉索振动对桥梁结构的影响较小，特别地，相比于公路与客运线路，重载铁路斜拉桥的列车活载等级更高，拉索与主梁的质量比相差更为悬殊，因此拉索振动对于桥梁振动的影响可以忽略。为简化分析，部分学者采用子结构法研究斜拉桥拉索振动问题，即首先建立基于OECS（one element cable system）的线性桥梁模型，再进行动力学分析得到外荷载下全桥斜拉索锚固点的振动时程;然后建立斜拉索非线性力学模型，输入上述锚固点的时程结果作为激励进行计算，考察斜拉索在外荷载下的非线性动力响应。
综上所述，本文以重载铁路洞庭湖三塔斜拉桥为研究对象，建立了空问列车一轨道一桥梁耦合动力学模型，采用子结构法研究不同行车条件下重载列车引起的拉索非线性振动响应，并对比和讨论了不同计算方案研究车致拉索振动响应的可行性。
1列车-轨道-桥梁耦合动力学方程
列车一轨道一桥梁耦合系统包括车辆子系统和桥梁一轨道子系统。其中，车辆模型采用基于多刚体系统动力学建立的31自由度动力学模型;桥梁一轨道模型采用有限元法建立三维精细化动力学模型。采用直接刚度法建立列车一轨道一桥梁空问耦合系统动力平衡方程如下。
本文采用空问轮轨接触模型，根据轮轨滚动接触理论，利用空问迹线法研究车轮踏面和钢轨之问的相对位置关系，利用几何学描述车辆横向位移、侧滚角、摇头角坐标问的依赖关系和相关参数，这样可以考虑轮轨之间的弹性接触变形和轮轨瞬问脱离的情形。当轮轨接触时，轮轨法向接触力pi（t）采用赫兹非线性接触理论，表达式如下
对于轮轨问的蠕滑作用，首先基于Kalker线性蠕滑理论计算，然后采用Johnson-Vermeulen理论进行非线性修正，这样可以使轮轨蠕滑力的计算广泛应用于任意蠕滑率的情形，轮轨纵向蠕滑力Fx，横向蠕滑力Fy和旋转蠕滑力矩Mz的计算公式如下式所示：
轨道随机不平顺是车桥系统振动的主要激励源之一，通常将轨道不平顺视为具有零均值的各态历经性的平稳Gauss随机过程。通常根据轨道不平顺功率谱密度函数，采用三角级数叠加法得到轨道不平顺样本。
本文采用显一隐式混合数值积分模式，即车辆子系统动力响应采用显式二步积分法，对于桥梁一轨道子系统动力响应采用Newmark-β隐式积分法。采用这种混合数值积分法进行列车一轨道一桥梁耦合系统的动力仿真计算既保证了桥梁结构有限元分析的稳定性，又提高了复杂的轮轨非线性系统动力学计算效率。
2斜拉索动力非线性有限元方程
拉索的非线性有限元模型是将单个拉索离散为多个单元（MECS，multiple element cable system），以中问节点定义拉索的振动状态，建立基于MECS的斜拉索力学模型，并考虑几何非线性效应后，斜拉索整体动力方程为
3子结构法斜拉索振动分析流程
基于子结构法的车致斜拉索振动分析流程如图2所示。首先，建立基于OEcs的线性斜拉桥模型，采用零位移法确定斜拉桥模型的初始几何构型，得到各斜拉索初始索力;再建立列车一桥梁一轨道耦合动力学模型，进行车一桥耦合振动分析，得到全桥拉索锚固点的振动时程;最后建立基于MECS方法的斜拉索非线性动力模型，以初始索力作为初始几何刚度，采用大刚度法施加端部位移激励，计算得到斜拉索非线性振动响应。因为没有直接作用于节点上的力，式（7）所示的拉索动力方程右端FC为位移激励引起的等效外荷载，FC需要根据锚固端振动时程和对应自由度的刚度实时更新计算得到，同样具有非线性特征。 4案例分析
4.1桥梁概况
荆岳铁路洞庭湖三塔斜拉桥为蒙华铁路荆岳段跨越湘江的双线特大跨度铁路桥梁，是世界上第一座三塔双主跨铁路斜拉桥。荆岳铁路洞庭湖三塔斜拉桥的跨度布置为（98+140+406+406+140+98）m，如图3所示。该斜拉桥主梁采用钢箱一钢桁组合结构，斜拉索采用空问双索面扇形的布置形式，每根塔柱两侧分别布置了13对斜拉索，同时在边塔横梁上方和中塔问布置稳定索（共8根），全桥共有164根斜拉索，均采用强度等级1770MPa的平行钢丝束，拉索参数如表1所示。主桥在边墩（①，7.），辅助墩（②，⑥），边塔（③，⑤）及中塔（④）处均设置有竖向支承和横向支承，在中塔处设有纵向支承。混凝土容重为25kN/m3，二期恒载为135kN/m。为考虑斜拉索垂度效应引起的几何非线性影响，本文在OECS桥梁模型中采用Ernst公式修正其弹性模量。分析过程中轨道不平顺采用美国五级谱，桥梁阻尼采用瑞利阻尼模式，阻尼比取2%。
4.2拉索与全桥的自振特性
斜拉桥的自振特性不仅反映了桥梁结构自身的动力特性，还反映了车一桥耦合振动引起斜拉索共振的可能性。图4给出了利用子空问迭代法求解得到的该桥前6阶斜拉桥振型。表2给出了斜拉桥前6阶自振特性。图5给出了全桥斜拉索的自振频率，并与斜拉桥主梁前14阶自振频率进行了对比。
4.3车辆模型参数
以中国C80重载货车作为计算车辆模型，牵引机车选取SS4型提速机车，列车编组为2D+30T（D为SS4机车，T为C80货车）。机车和货车的主要参数如表3所示，其余信息见文献[11]。
4.4不同车速下的拉索响应
本文首先考察了重载货车以80-140km/h的速度通过桥梁时的全桥拉索振动响应，图6为不同行车速度下计算得到的C1-C40拉索中点最大位移。从图6中可以看出：1）不同列车行驶速度下，车一桥耦合振动引起的各拉索中点最大位移受车速影响较小。这是因为重载列车车速较低且桥梁刚度较大，在车速为80-140km/h的范围内列车引起的索端激励幅值较为接近，且车一桥耦合振动引起的索端激励没有与拉索的固有频率出现明显的匹配关系，故未引起各拉索的大幅振动;2）超长索中点最大位移较中长索、短索更大，其中最大位移发生于C40稳定索，在车速为100km/h时达到了516mm;这是因为随着拉索长度增加，其垂度效应更明显，采用MECS方法模拟斜拉索可以准确模拟拉索垂度效应导致的几何非线性效应。
在考察全桥各拉索中点最大位移的基础上，还需要对列车过桥过程中的拉索应力时程做进一步研究。图7给出了车速为140km/h时，C1，C13，C14，C26，C27，C39，C40拉索動应力时程曲线，纵坐标△σ为行车过程中拉索应力相对于初始状态的增量。
从图7可以看出，拉索应力变化主要受行车位置影响。当车辆从左至右行驶时，C13至C39索依次达到应力最大值;当所有列车均行驶在第3跨时，c1索应力达到最大值，而C40索出现了明显的应力松弛现象;当车辆行驶在第3跨和第4跨的整个过程中，C27索一直处于张紧状态。此外，各拉索应力时程曲线均较平缓，没有出现明显的波动现象。
为探究索端激励与拉索动力响应的关系，图8和9分别给出了车速为140km/h时C27拉索中点以及索、塔锚固点的位移时程曲线及频谱特征。图中C27表示C27拉索中点，C27-G表示C27拉索的主梁锚固点，C27-T表示C27拉索的桥塔锚固点。
从图8，9中可以看出：1）C27拉索的振动响应主要受主梁竖向振动以及主塔纵向振动影响，桥塔、主梁以及拉索横向振动幅值很小，约为竖向振动幅值的1%;2）列车速度为140km/h时，C27拉索主梁锚固点、索塔锚固点的激励频率以静态分量为主，对应的拉索振动响应也以静态分量为主，索塔以及主梁的一阶频率都在0.2Hz以内;3）C27拉索的端部激励频率与其一阶面内、一阶面外频率相差较大。
由以上分析可知：在设计时速范围内，车一桥耦合振动不会引起洞庭湖斜拉桥拉索的大幅振动，这是因为索端激励与拉索固有频率两者不存在明显的匹配关系，列车经过桥梁时引起的拉索振动响应是一个准静态的过程。
4.5不同计算方案下的拉索响应
为了探讨不同简化方案分析车致拉索振动的可行性，本节对比了车速为140km/h时三种方法计算的拉索中点最大位移、应力以及应力冲击系数。其中方案一与方案二分别采用车一桥耦合振动和移动轴重两种方案获得索端激励;方案三采用移动轴重影响线加载获得索端位移。三种计算均采用子结构法计算拉索响应。
图10给出了三种方案全桥拉索中点最大位移的计算结果。计算结果表明，三种计算方案得到的拉索中点最大位移基本一致，其中方案三计算结果总体偏小，采用移动轴重模拟方式的方案二计算结果略大，但两者与车一桥耦合振动分析计算结果误差均小于5%。
图11给出了三种方案计算得到的拉索应力幅，并以方案一（车-桥耦合振动）的计算结果为基准值，分析了方案二、方案三计算的拉索应力幅误差百分比，其中应力幅为列车过桥过程中拉索最大应力与最小应力的差值。从图11可以看出：三种方案计算的应力幅结果总体相近;方案二、方案三的应力幅与车一桥耦合分析得到的索力应力幅相对误差在10%以内，其中C40索（稳定索）的应力幅相对误差最大，误差值为9.147%。
图12给出了方案一（车一桥耦合振动）和方案二（移动轴重）计算的斜拉索应力冲击系数。从图12中可以看出方案二计算的冲击系数大于方案一的计算结果，但两种方案得到的索力冲击系数均较小，在0.01-0.03之问。表明对洞庭湖斜拉桥这一大跨度铁路斜拉桥而言，重载列车引起的拉索动力效应并不显著。
图13给出车辆通过桥梁时三种方案计算得到的C13，C26，C39，C40索应力增量△σ的变化过程。从图13中可以看出。三种方案计算的拉索应力结果和变化趋势均较为一致，其中移动轴重计算方案的计算结果略大于车一桥耦合分析的结果。
综上所述，三种计算方案均可有效计算重载铁路斜拉桥车致拉索位移和应力。但是从实施难度上来说，车一桥耦合振动分析需要建立复杂的列车模型，同时需要处理空间轮轨接触关系，实现难度较高;而采用移动轴重瞬态分析方法和移动轴重影响线方法较容易实现，且计算精度满足要求。
5结论
针对重载列车引起的大跨度斜拉桥拉索振动问题，本文以洞庭湖三塔斜拉桥为研究对象，建立列车一轨道一桥梁空间耦合动力学模型，编制斜拉索动力非线性有限元计算程序，采用子结构法研究了不同行车条件对拉索非线性空问振动响应的影响，并对比了不同计算方案下的车致斜拉桥拉索的响应，主要得到以下结论：
1）在设计时速内，重载列车不会引起洞庭湖斜拉桥拉索大幅振动，索端激励与拉索固有频率两者不存在明显的匹配关系，列车经过桥梁时引起的拉索振动响应是一个准静态的过程。
2）车致拉索振动主要以面内振动即纵向和竖向振动为主，面外振动即横向振动幅值很小。
3）大跨度斜拉桥在重载列车荷载作用下的拉索动力效应不显著，采用移动轴重影响线的加载方式得到索端位移用以计算车致拉索应力响应具有足够的精度。
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