基于特征分析的数学思想方法在《高等数学》中的教学策略

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　　摘要：分析了数学思想方法具有抽象性、概括性、内隐性、交织性、多样性、广泛性等特征，指出了数学思想方法的教学原则，提出了在《高等数学》的概念、推导证明、演算等内容的教学中进行数学思想方法渗透的策略。
　　关键词：数学思想方法；特征分析；教学原则；教学策略
　　中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）32-0180-03
　　学习数学的根本目的是获得数学的思想和方法，用数学理论指导我们的实践工作。国际数学教育委员会的研究认为，“在内容的选择中，人们必须想到的不仅仅是我们希望学生获得的知识，而且要想到跟那些题目结合在一起的思想方法”；“数学修养必须结合两个不同的方面：数学的思想方法和一个基本知识的范围”；“这种数学修养，更适合目前的需要”。清华大学萧树铁教授强调：“数学要讲推理，更要讲道理。”他所说的“道理”就是“数学思想和方法”。以上观点既有对《高等数学》教学中存在问题的批评，也给出了我们今后教学中的努力方向[1]。要实现上述要求和期待，应认真分析数学思想方法的固有特点，探寻数学思想方法教学的有效途径。
　　一、数学思想方法的特征及其教学原则
　　“数学思想方法”主要有“数学思想”和“数学方法”两个方面的含义。“数学思想”就是人的大脑对现实世界的“数量关系”和“空间形式”的反映，是对现实世界中“量和形”的本质和对数学规律的理性认识。“数学方法”是指人们从事数学活动时使用的方法，解决数学问题的步骤和流程、技术和手段。二者没有严格界限，只是看待问题的角度不同而已[2]。
　　“数学思想方法”具有任何科学思想共同遵循的“感性具体—理性抽象—理性具体”的认识过程，同时还具有其认识论上的特殊性。数学研究事物的“量”，而不研究事物的“质”；而“量”是抽象的，只能用人的思维来描述其自身的逻辑规律。所以，“数学思想方法”的特殊性就表现为“归纳法”或“演绎法”，以及由此产生的特有的“公理系统”和“形式系统”，这是其鲜明的特征。
　　（一）数学思想方法的抽象性与概括性
　　抽象性和概括性是“数学思想方法”的基本特点，也是数学活动最基本的思维方法。数学的抽象性抽取的是事物在“数量关系”和“空间形式”等方面的本质属性，然后提炼出数学概念、构造数学模型、建立数学理论。数学的概括性是指从某种特有属性推广到公共属性的思维过程。“数学思想”既体现了具体的数学成果，更是概括了这些数学成果隐含的深层次的共性，它是数学内部的概括性，也是数学知识的“核心”与“本质”，更是沟通数学各分支间联系的桥梁与纽带。例如，由圆内接正多边形和圆外切正多边形边数倍增而趋于圆，求圆面积和求圆周长的极限思想进一步抽象概括发展为分割、近似、作和、取极限的微积分思想，是众多学科发展的源泉。另一方面，这种概括性表现在数学外部，它能沟通数学与其他学科及社会科学的联系，对社会科学的建立产生了重要影响。例如，数学公理化思想已超越数学理论范围，渗透到其他学科领域[3]。可见，抽象性重点在分析和提炼上面，而概括性则侧重于归纳和综合。因此说，在数学理论中的任何概念、公式、原理、运算、法则和性质，都是抽象性和概括性共同作用的结果。
　　（二）数学思想方法的内隐性与交织性
　　数学理论中的所有概念、公理、性质、法则、公式、定理等都属于知识范畴。这些知识点也都有其本身的内容。问题是，这些丰富多彩的内容反映了哪些共同的、带有本质性的东西？这就是“数学思想方法”要探讨的内容。因此，“数学思想方法”以数学知识为载体，隐含在其体系之中，它是数学知识的灵魂，支撑和统率数学知识。再者，数学理论知识是用公理化或演绎法构建的，数学知识的连贯性及逻辑推理的严密性自然决定了内隐其中的“数学思想方法”具有交织性的特征。例如，作为微积分理论基础和核心思想的极限思想，除其自身具有的数学辩证思想的特点外，它又是微分思想和积分思想形成、完善及应用的基础，贯穿于整个微积分知识体系中；又如，数学化归思想方法，在广义上基本包含了所有的用数学解决问题的方法。莫斯科大学教授雅洁卡娅在发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解的题转化为已经解过的題。”这就是说，数学的解题过程，就是从未知出发，向已知靠近，从复杂到简单的归化和转换过程。
　　（三）数学思想方法的多样性与广泛性
　　由于现实世界空间形式和数量关系的复杂多样性、存在的普遍性，导致了数学思想方法在内容和形式上的多样性及应用的广泛性。例如，《高等数学》中有函数思想、极限思想、微分思想、数形结合思想、由函数局部性质推断整体性质思想、不定积分思想、积分思想、“元素法”思想、类比思想等。而积分方法则有直接积分法；第一类换元法（凑微分法）、二类换元法；分部积分法；几种特殊类型函数积分法；其他常见的积分方法等。这都体现了“数学思想方法”的多样性特征。随着科学技术的不断发展和经济社会的持续进步，“数学思想方法”已渗透到自然科学和社会科学的方方面面，而应用的广泛性也已经成为其重要的特征。
　　（四）数学思想方法的教学原则
　　针对以上“数学思想方法”特征的分析，我们得出以下有效的教学原则：（1）基础性原则。指“数学思想方法”的教学，应紧贴学生的数学及相关知识基础，以能理解对应的“数学思想方法”为基本要求。（2）阶段性原则。和数学知识学习一样，学生对“数学思想方法”的学习掌握也需经历三个阶段：了解模仿阶段、理解初步应用阶段、掌握自觉应用阶段。（3）渗透性原则。在知识点教学中，“数学思想方法”总是通过学习情境与教学过程的精心设计，引导学生去领会蕴含在其中的奥秘，并在潜移默化的学习中达到理解和掌握。（4）反复性原则。学生对“数学思想方法”的认识都是通过反复运用逐步加深理解形成的，是一个由低级到高级的螺旋上升过程，而这个认识过程具有长期性和反复性的特征。例如，对同一类“数学思想方法”，应该注意其在不同阶段的再现，以加强学生对它的认识。（5）系统性原则。与具体的数学知识一样，“数学思想方法”只有形成明晰的结构系统，才能更好地发挥它的整体功能。同样的“数学思想方法”，它所用到的数学方法，所涉及的数学知识，必须形成理论体系，才能更好地为学生所理解和掌握[4]。具体的教学实践中能否坚持这些原则，在相当程度上决定了教学的效果和质量。 　　二、数学思想方法的教学策略
　　《高等数学》是关于变量（运动变化）的数学，研究的对象是函数，其思想方法充满了辩证法的思想，这是高等数学与初等数学的主要区别，它深刻反映了静与动、不变与变、有限与无限的对立统一的辩证关系。即用一系列静态去刻画和把握动态，这种静与动的辩证关系正符合事物发展变化的一般规律，也是初等数学思维所无能为力的[5]。而这种统一又是直接或间接地借助极限方法实现的。所以，具体教学实践中应在始终坚持上述教学原则的前提下，以突出运动转化、辩证统一思想为抓手，统领协调相关“数学思想方法”的渗透教学。
　　（一）以极限方法为基础，在概念教学中渗透数学思想方法
　　极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势（一个确定的数值）。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。极限概念的讲授，应根据学生知识基础及实际理解能力，以能理解为基本要求，确定是采用描述性定义还是定量刻画的精确定义，后者虽在反映数学辩证思想上更深刻，但在理解把握上难度较大。高等数学中的直与曲、常量与变量、连续与间断、有限与无限、抽象与具体、局部与整体和微分法、积分法等许多概念和方法都蕴含着辩证法思想。教师应充分利用上述概念的教学机会，通过恰当直观的实例适时引导学生进行反复分析、认识，强化理解、掌握，逐步养成用辩证思维认识事物的习惯和能力。以常量与变量间的辩证关系认识为例：（1）常量在一定条件下具有任意性。比如，函数极限定义中的ε就是一个任意的常量。（2）常量与变量的相对性。常量与变量相互依存、相互渗透，在一定条件下也相互转化。例如，一元函数中，常量与变量是对于某一过程而言的；而在多元函数中，研究某一个变量的性态时，就往往要把其余变量看作常量。（3）用常量来刻画变量。在《高等数学》中，变量是运动与变化的，它往往是通过相对静止的常量来刻画的。例如，常微分方程中的“常数变易法”就是用常量来刻画变量的典型“数学思想方法”。（4）用变量来研究常量。这是把常量看成变量的暂住状态或特定值，以变量的变化过程中的稳定趋势来研究常量。例如，利用导数求函数的极值，就是利用变量来研究常量。
　　（二）在性质、定理、公式的推导、证明中挖掘数学思想方法
　　一般来说，一个新的数学概念或运算经抽象概括定义后，会按演绎方法推导证明其具有的性质及其相关的定理、公式，然后介绍其应用，到此形成了一节完整过程，这些过程按逻辑顺序组合构成一门数学课程。所以，公理化思想及其体现的演绎方法是数学课程体系建立的基础，其逻辑的严密性和结论的准确性决定了它说理的可信服性。因此，教会学生善用公理化思想原理，搭建交流沟通平台（共同认可的道理和规则），用缜密的推理以理服人，有助于构建和谐良性的人际关系，将使学生终身受益。此外，教师可引导学生用类比和归纳思想方法在相近概念和定理中寻找关联，得出共有的性质和等价结果。例如，考查重积分与定积分，都是某种特殊形式和的极限，基本思想是“分割，近似，求和，取极限”。定积分的被积函数是一元函数，积分区域是一个確定的区间，而二、三重积分的被积函数是二、三元函数，积分区域是一个平面有界闭区域和一个空间有界闭区域。由于定义的形式化结构的统一性，因此，它们具有对应层级上相同的性质和等价结果，所以，重积分是一元函数定积分的推广与发展。类似地，多元函数微分学也是一元函数微分学理论的推广与发展，运用类比的思想方法来学习相关章节内容会起到事半功倍的作用，教师应积极引导学生深入挖掘数学定理和公式证明中内隐的“数学思想方法”。
　　（三）在计算题的演算过程中，归纳和总结“通性、通法”
　　在“数学思想方法”教学和研究方面，还应更多地关注数学的“通性、通法”。一方面，“通性、通法”跟“数学思想方法”是相通的，具有普遍意义；另一方面，“通性、通法”比较具体，教师容易抓得住、摸得着，而真正有价值和富有生命力的数学方法，恰是那些呈现明显规律性又有广泛实际应用的方法。反之，一种仅仅用于解决个别问题的方法，无论构思如何巧妙，也只有孤立的价值[6]。教师应重视引导、启发学生观察、分析计算题的解题过程，归纳、总结共性规律。
　　1.让学生观察、思考以下2个问题的解题过程，从中发现规律。
　　以上2个例子若单从形式和解题难度看平淡无奇，但通过仔细观察，便会从并列在一起的平凡例子中发现某些共同规律。虽然以上各题所求的对象不一样，但其求解过程都依赖于一定的规则与一定的标准结论。
　　2.总结上述数学演算过程三要素：（1）演算对象，如极限、导数、积分、级数等，它由问题所给定。（2）演算规则，如极限运算规则、微分规则、积分规则等，它由一定的数学理论所提供。（3）基本公式，如基本极限、基本初等函数的导数与原函数公式、基本展开式等。
　　上述演算过程，实质上是依据演算规则完成一系列转化，使得最终能组合基本公式得出演算结果。演算的复杂程度不过是转化步骤的多寡而已的“通性、通法”。
　　三、结论
　　“数学思想方法”的教学是一种复杂而富有挑战性的活动。在高等数学教学中渗透数学思想方法，应坚持以学生为本的理念、以学生的发展提高和终身受益为目标，在深刻认识“数学思想方法”的特征、坚持相关教学原则的基础上，结合《高等数学》知识点的教学，引导学生亲身体验和参与探寻、挖掘其中内隐的“数学思想方法”，深刻理解和把握其实质，养成自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力和习惯，以促进学生综合素质的提高。
　　教师要经常有意识地引导学生参与到对数学对象的关系和结构进行观察、分析，发现个中规律的活动，将有利于培养他们自觉观察事物，寻找规律的能力和习惯。这种能力和习惯一旦养成，无论他们将来从事什么工作，都会帮助其快速进入角色，提高工作效率。
　　参考文献：
　　[1]呙立丹，孙宇锋，等.论地方高校公共数学教学应突出数学思想方法的渗透[J].教育教学论坛，2016，（7）：154-156.
　　[2]张奠宙，过伯祥，等.数学方法论稿（修订版）[M].上海：上海教育出版社，2012.
　　[3]顾泠沅，邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海：上海教育出版社，2009.
　　[4]陈杨.关于数学思想方法教学的探讨[J].数学通报，2000，（3）：3-5.
　　[5]莫正芳，黄燕玲.高等数学思想方法的特征[J].长春师范学院学报，2006，（4）：119-121.
　　[6]胡适耕.大学数学解题艺术[M].长沙：湖南大学出版社，2001.
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