利用导数证明或解决不等式问题

来源:用户上传      作者:

　　摘要：高考数学第22题，用导数知识处理函数与不等式的问题，成了考生的一個难点。本文结合自己对导数的理解与思考，就对这道题的解题思路提出自己的观点。本文从利用导数解决不等式问题与利用导数解决不等式恒成立问题两个方面进行阐述。
　　关键词：导数；构造函数；函数的单调性；函数的最值；不等式
　　从近几年高考题看，利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题常考到，一般出现在高考题解答题21或22题的位置。但对于我们民族地区的学生来说这一块的得分率很低，被列为难题。主要是由于学生基础知识薄弱，对分类讨论思想、数形结合思想、知识综合应用能力、分析问题的能力等无法施展，甚至好多同学对此题产生恐慌。为此本文专对这两个问题的解决办法提出自己的认识。
　　一、 利用导数解决不等式问题
　　利用导数解决不等式问题常见的有证明不等式、比较大小等。其实质是利用求导数的方法研究函数的单调性。而证明不等式或比较大小常与函数最值问题有关。因此解决该问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解，其实质是这样的：要证不等式f（x）>g（x），则构造函数φ（x）=f（x）-g（x），只需证φ（x）>0即可，由此转化成求φ（x）的最小值问题，借助于导数解决。
　　例如：已知函数f（x）=x2ex-1-13x3-x2，g（x）=23x3-x2，证明对任意实数x，f（x）≥g（x）成立。
　　证明：要证f（x）≥g（x），需证x2ex-1-13x3-x2≥23x3-x2
　　整理得x2ex-1-x3≥0，即x2（ex-1-x）≥0
　　由于对任意x属于全体实数x2≥0，所以需证ex-1-x≥0成立
　　我们构造新函数，令h（x）=ex-1-x，下面我们探讨新函数的单调性。
　　若h（x）=ex-1-x=0，则x=1，可见当x>1时，h（x）>0，h（x）为单调递增函数，当x<1时，h（x）<0，h（x）为单调递减函数。
　　所以当x=1时，h（x）有最小值，而h（x）≥h（1）min=0，也即ex-1-x≥0成立
　　所以对任意实数x都有h（x）≥0，即f（x）≥g（x）成立。
　　二、 不等式恒成立时求参数的取值范围
　　不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常见的题型，这种题型的解法有多种，其中最常见的方法就是分离参数法，然后转化为求函数的最值问题。由于导数是解决函数最值问题的有力工具，所以本文借助导数求函数的最值。一般地：
　　（1）若关于x的不等式f（x）≤m在区间D上恒成立，则转化为f（x）max≤m。
　　（2）若关于x的不等式f（x）≥m在区间D上恒成立，则转化为f（x）min≥m。
　　例如：已知函数f（x）=xlnx
　　（1）若函数g（x）=f（x）+ax在区间[e2，-∞]上为增函数，求实数a的取值范围。
　　（2）若对任意x∈（0，-∞），f（x）≥-x2+mx-32恒成立，求实数m的最大值。
　　解：（1）由题意得g′（x）=f′（x）+a=lnx+a+1
　　因为函数g（x）=f（x）+ax在区间[e2，+∞）上为增函数，所以当x∈[e2，+∞）时，g′（x）≥0即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，所以分离出参数a≥-1-lnx（要使x∈[e2，+∞）时a≥-1-lnx恒成立，就要求出-1-lnx在x∈[e2，+∞）上的最大值，而参数a要大于等于-1-lnx在x∈[e2，+∞）上的最大值）。
　　为此我们构造新函数h（x）=-1-lnx，下面我们利用导数探讨新函数h（x）在区间[e2，+∞）上的最值。
　　由于h′（x）=-1x，当x∈[e2，+∞）时h′（x）<0，h（x）为单调递减函数，可见当x=e2时，h（x）有最大值，h（e）2=-1-lne2=-3
　　从而可得到a的取值范围为a≥-3
　　（2）由于x∈（0，+∞），f（x）≥-x2+mx-32恒成立，变形为2f（x）≥-x2+mx-3成立，（从中分离出参数m）
　　即mx≤2x·lnx+x2+3，由于x>0，所以m≤2x·lnx+x2+3x=2lnx+x+3x（要使x∈（0，+∞）时m≤2lnx+x+3x恒成立，就要求出2lnx+x+3x在x∈（0，+∞）上的最小值，而参数m要小于等于2lnx+x+3x在x∈（0，+∞）上的最小值）。
　　为此我们构造新函数F（x）=2lnx+x+3x，下面我们利用导数探讨新函数F（x）在区间（0，+∞）上的最值。由于F′（x）=2x+1-3x2=2x+x2-3x2，因为x>0，所以x2>0
　　令x2+2x-3=0解得x=1或x=-3<0（舍去）
　　可见当x∈（0，1）时，F′（x）<0，函数F（x）在（0，1）上单调递减；当x∈（1，+∞）时，F′（x）>0，函数F（x）在（1，+∞）上单调递增；
　　所以F（x）min=F（1）=4，从而可得到m的取值范围为m≤4
　　实数m的最大值为4。
　　参考文献：
　　[1]魏全红.灵活利用导数解决不等式证明问题[J].中国科技信息，2009（5）.
　　[2]候有岐.函数不等式的证明技巧[J].高中数学教与学，2017（5）.
　　作者简介：
　　倾转莉，甘肃省临夏回族自治州，康乐县康乐中学。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/9/view-14987460.htm