七年级数学教学中分类讨论思想的应用分析
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作者:张安定
摘 要：初中数学是初中教学体系中的重要组成部分，数学学习需要掌握许多数学思想，比如分类讨论思想、数形结合思想、方程思想等。分类讨论思想是一种根据数学对象本质属性的异同，将数学研究对象分为不同种类的数学思想，它贯穿于数学学习的整个过程，也是近年来中考考查的热点之一，是教学的难点。本文结合七年级数学的教学实践来讨论分类思想的实际运用。
关键词：七年级;数学教学;分类讨论思想
一、 步步为营，在初中数学教学的过程中逐步渗透分类思想
（一） 在基本概念的理解中，渗透分类思想
七年级学生刚刚从小学进入中学，初中数学相对于小学数学其难度加大了许多，一些学生内心会产生恐惧心理。因此，教师应根据现阶段学生心理以及身心特点巧妙编写教学方案，将初中复杂的数学知识变得简单化，消除部分同学的畏惧心理，从而提高学生的学习效率。而分类思想刚好能够满足以上需求。教师在教学数学基本概念时可以从实际生活入手，比如，在生活中我们都有将衣服以及文具分类的习惯，教师可以作为切入点，将数学分类思想渗透到数学概念中，以便帮助学生加深对数学概念的理解与认识。如教学有理数的两种分类方法：第一种将有理数分为整数与分数，整数分为正整数、零、负整数;分数分为正分数与负分数。第二种是将有理数分为正有理数、零、负有理数。经过以上两种分类，可以让学生了解到有理数在不同的分类标准下有截然不同的理解，帮助学生在分类的过程中充分的理解有理数。
（二） 在知识生成过程中，巧用分类思想
新课程改革提倡从实际生活引导出数学问题，即以“生活教学”为主。因此，在实际数学教学过程中，尤其是在某些公式或者数学性质的教学时，教师要善于引导学生了解公式或者数学性质的推理过程。例如，教师在教学有理数的乘除法则时，可以从三个方面引导学生进行归纳，分别是同号两数相乘、异号两数相乘以及正负数与零相乘的情况，最后学生可以得出“同号得正，异号得负，任何数与零相乘都等于零”的数学结论，以上讨论的方法具有完整清晰的思路，能够让学生初步体会到分类思想的优势所在。
二、 循序渐进，在解题教学过程中培养应用分类讨论方法
数学的教学是数学思维活动的教学。在注重基础知识和基本技能的教学中，我们更加要注重数学思想方法的培养，分类讨论思想是初中数学的“核心”思想。在实践教学中，针对不同的课型，设计不同的教学思路来渗透数学分类思想，引导学生积极参与数学教学活动，体会数学方法的价值。
（一） 概念型
有些数学题目需要結合数学概念来进行求解。其中最为典型的数学知识点是绝对值问题。例如：
已知|x+1|=5，求x的值是多少？
分析：首先我们从绝对值的基本性质|a|=b，a=b或者a=-b（a不等于0）可以知道x的值有两种情况：第一种，当x+1的值大于0时，即x+1=5，解此方程得x=4;第二种情况，当x+1的值小于0的时候，即x+1=-5;解此方程得x=-6。
所以这一题的答案为x=4或者x=-6。
不难看出，这一题主要考查学生对绝对值基本性质的理解，学生只要在理解绝对值基本性质的前提下，将题目分为两种情况去进行讨论，进而得到问题完整的答案，其主要还是锻炼学生的分类讨论的能力。
思考：数学概念是数学教学的基础，数学概念涉及数学思想方法，如分类讨论思想。在数学教学中，我们要抓住一些典型的数学概念，来引导学生分类讨论。
（二） 不等式型
不等式数学知识点同样是运用分类讨论思想的重点，学生必须根据参数的不同取值来进行讨论。例如：
试比较x-3与3-x的大小。
分析：通常情况下，这类题目每个学生都能做出答案来，但是可能学生答不完全。一般来讲，遇到这种表达式比大小的题目，常常使用作差的方法，通过分类讨论的方法得到x不同的值，所以解决此类问题的具体方法如下：
解：作差：x-3-（3-x）=0，解得x=3;
下面分类讨论：
当x=3时，有x-3=3-x;
当x>3时，有x-3>3-x;
当x<3时，有x-3<3-x;
（三） 图形特征型
有时在学习几何图形的过程中不确定图形的特征，需要进一步讨论得出图形的完整信息。例如：
已知△ABC，其周长为20cm，AB=BC，其中一边边长是另一边边长的2倍，问AC长多少？
解析：由于AC边不固定，可以分两种情况来考虑，第一种：2AB=2BC=AC;
第二种：AB=BC=2AC。所以具体解题过程如下：
解：设AB=BC=x
①当2x=AC时，
列得方程式x+x+2x=20;解得x=5cm;则AC=10cm。由三角形任意两边之和必定大于第三边的性质可以知道x=5不符合题意，故舍去。
②当AC=x2=AB=BC时;
可以列得方程x+x+0.5x=20，解得x=8cm，则AC=0.5x=4cm;符合题意。
答：AC长为4cm。
思考：在问题解决过程中，可以利用分类讨论的思想，反思数学解题过程。如本题设计的三角形三边问题，三边长能不能构成三角形，需要在学生解完题目后进一步思考：结果完整了吗？答案全面了吗？在问题的解决中，分类思想有利于培养学生数学问题思考的全面性和严谨性。
（四） 方程型
有些应用题必须通过列方程进一步讨论才能得出最终的答案。例如：
初春之际，七一班与七二班两个班级的学生准备去某一个景点春游，现在已知景点的售票模式是这样的：当购票人数在1～50人之间，门票价格是每人15元，购票人数在51～100人之间，门票价格是12元，100人以上，门票价格是每人10元，现在已知两个班级共103人（七一班人数多于七二班人数），若每一个班单独购买门票，需要的总费用是1500元;问： （1）若两个班合在一起购买门票需要多少钱？
（2）每个班各有多少名学生？
解析：第二问对于同学来讲或许有些难度，不过在已知条件下可以推理出，七一班人数已经超過50人，因此，学生可以这样解决第二问：先设七二班人数有x人，当x>50时有12（103-x）+12x=1500;当x<50时，有12（103-x）+15x=1500;这样就可以得出x的具体数值，之后根据实际情况求解即可。
总的来讲，这也是考查学生分类讨论思想的一种。
思考：分类是讨论的前提，讨论是分类的目的;任何知识的学习，如果知识停留在数学问题的解决上，效果是不明显的，学生也不能很好的把握。在实际问题解决中，结合问题情境来引导学生分类讨论。
（五） 图形结合型
由于七年级学生空间思维想象能力有限，在遇到比较抽象的题目时就显得吃力，教师要善于将数形结合思想与分类讨论思想互相融合，帮助学生理解抽象的数学题目。例如：
已知现在平面内有三条直线，现在让这三条直线的任意两条相交，问三条直线的交点有几个？
解析：解决这类题目，只靠自己想象很难想到全面的答案，这时候就要用到数形结合与分类讨论的方法了。就像这题，可以这样画出图形：
经过以上分析，可以了解到何时使用分类讨论的思想去解决问题，同时可以得出进行分类讨论的基本方法：首先通读整个题目，了解题目要考查的属于哪一方面的知识;其次，根据考查的知识点，确定分类标准，进行正确合理的分类;最后对分类进行必要的讨论并与实际情况相比较，进行归纳总结，得出合理的答案。
三、 夯实提升，让分类思想成为数学学习中基本的数学思想
（一） 培养学生良好的数学学习习惯
良好的数学学习习惯是学好数学基础知识的前提，特别是初一的学生。在方法教学过程中，我们要注重学习习惯的培养，如认真审题的习惯，先读懂题目，抓住一些关系的条件或信息;学会分析题目，能够结合题目，从数和形两个角度来引导学生分类;学会问题反思的习惯，能够结合实际，用分类思想来反思自己的解题是否完整。
（二） 强调分类讨论过程的原则性
“不重不漏”，这是数学中分类讨论问题必须遵循的基本原则。分类应按同一标准进行，每次分类不能同时使用几个不同的分类根据，即为同一性原则，以避免分类过程的“不重”。还有分类应当遵循相称性原则，即分类后子项外延的总和，应当与母项的外延相等，这就是分类要做到的“不漏”。
（三） 提高学生在分类讨论时的思维缜密性
扎实的数学知识是学生进行多种情况讨论问题的基础，只有见过这类题目，才能相应的给出解决方案。因此，教师在教学过程中要为学生还原问题的全部情况，确保讲解过程中思维的缜密性，提高学生的学习效率与解题能力。
四、 结束语
分类思想是数学教学中基本的数学思想。在解题过程中运用分类讨论思想能够将复杂的数学问题简单化，使解题思路变得清晰，有助于提高学生的解题效率和正确率，为以后的数学学习打下坚实的基础。
参考文献：
[1]汪小燕.七年级数学教学中渗透数学思想方法策略初探[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（2）：36-37+4.
[2]容伊梦.分类讨论思想在七年级数学教学中的有效植入[J].新课程（中学），2016（11）：78.
作者简介：张安定，浙江省永康市，浙江省永康市油川初级中学。
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