估算、估算教学的认识误区及分析
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作者:孙敏 陆世奇
【摘 要】估算作为贯穿整个小学阶段的数学教学内容，是教师教学的一大重点。由于其内容的复杂性和多样性，教师的教学也自然会出现各种误区。从估算教学的本质、过程、关系与价值这四个层面出发进行探讨，可以更好地针对教师对估算、估算教学的认识误区进行分析，并提出相应的教学建议。
【关键词】估算;估算教学;估算本质;估算过程;估算类型;估算价值
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）17-0024-05
【作者简介】1.孙敏，江苏省常州市第二实验小学（江苏常州，213026）副校长，高级教师，常州市数学学科带头人，常州市中小学名教师工作室领衔人，常州市优秀教育工作者，江苏省教科研先进个人;2.陆世奇，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所博士研究生，主要从事小学数学教学研究。
随着新课程改革的推进，教师对估算教学内容的教材安排逐渐熟悉，对估算价值和估算方法有了一定认识，形成了自己的估算教学经验，由此我们可以看到一些精彩的估算单课教学实例。然而，估算教学具有十分丰富的育人价值，仅从这种着眼于一个单元或一节课的微观视角出发进行教学，并不能充分展现它的价值。因此，需要从宏观视角来重新审视估算教学。所谓宏观视角，指的是把估算作为小学数学的一个主题，贯穿整个小学阶段，以课程标准和教材为基础，从估算的本质、过程、关系与价值等方面出发，整体地考虑估算教学。基于此，本文试从教师对这几个方面的认识误区出发，在深度剖析的基础上厘定其应有的意义与价值。
一、估算本质的认识：“离散性”还是“连续性”
（一）“离散性”认识导致对估算本质的理解偏差
有研究指出，某些学生认为估算得到的都是不正确的答案，所以他们在估算时往往只是随意地猜测。某些教师则因为与估算相关的笔试较少，难以真正检测学生的估算水平，而对估算教学抱着点到即止的态度，缺乏深入的理解和认识。
这一现象引出了一个本体性的问题：估算作为一种心理运算的过程，它在本体上是一个连续的范围还是一个个离散的点？随意的猜测是不是一种估算？如何判断估算的好坏？等等。我们由此可以得到两种理解估算的模式：一种是“离散性”的估算，即在二元思维主导下的一种“是与否”的离散模式，没有对估算性质的判断，此时随意的猜测就不是一种估算;另一种是“连续性”的估算，是一种具有性质判断的估算，即对心理运算过程进行带有价值分析的判断，是对“好”与“坏”的分析。相应地，随意的猜测可以看成是一种消极的估算。
（二）“连续性”指向估算的性质
“连续性”的估算更符合估算的本质，体现了估算的性质，强调一种对合理性的追求，要求学生投入足够的思维精力去完成一个尽可能合理的估算过程，也要求教师在教学中引导学生追求“好”的估算。当然，这里的“好”与“坏”没有一个一般性的规定，更多需要在具体的估算情境下去判断。这些估算的特征也反映出估算教学中内隐地存在着批判性思维、分析性思维等思维成分。
（三）从“离散性”转向“连续性”
在一线教学中，教师往往是在教一个个“离散性”的估算方法，学生往往很熟练地掌握了各种方法，但不会合理地运用，不能选择恰当的方法去匹配相应的估算问题。教学需要从“离散性”的估算转向“连续性”的估算，即将教授估算方法层面的估算教学上升为培养估算素养层面的估算教学，在估算教学中反思估算的本体价值，追求好的、合理的估算，使各种估算方法联系在一起，并最终形成学生稳定的、灵活的估算素养。
二、估算过程的认识：“操作性”还是“综合性”
（一）“操作性”估算过程带来价值的缺失
在实际教学中，教师往往会将估算更多地定位为一种技能，从操作层面进行指导，如先转换数据，再代入进行计算，最后比较，要求学生按程序一步一步模仿学习。在这样的学习过程中，学生可以凭借习得的技能完成相关练习要求，但对于为什么估算、估算的情境性、用什么方法估算、估算的适切性、估算的结果如何运用、估算的灵活性等问题缺乏认识和把握。
（二）“综合性”估算过程的三层次分析
事实上，对估算过程的理解是一个复杂的综合体，可以从事实层面、操作层面和概念层面这三个方面进行阐述。
就事实层面而言，估算是一种数学活动，估算本身就是估算方法的具体展开，是基于具体情境进行的情境条件的抽象和估算方法的抽象。由于估算方法的多样性，估算并没有一般性的形式，因而学生并不能直接将估算作为一种文字或符号的事实记在脑海里。可以说，估算的事实层面并不能独立于其操作层面或概念层面而存在，但这并不意味着它是低层次的估算知识，可以表述为“在怎样的情境下，可以运用这种估算的方法”。
就操作层面而言，估算预设了两种运算前提：一种是无法做准确计算;另一种是不必做准确计算。估算的精确程度并不是无条件可控的，它往往被情境条件限制在一定的范围之内。即使在同一情境条件下，所能运用的估算方法也不止一种。操作层面也是一个不断发展的过程，从仅仅把估算当作一种直觉或一种随意的猜测，到把估算作为一种有条件、有目的的数学活动，其间经历了多方面、多层次的发展，是对估算情境的多方面要素综合考虑之后的一种估算方法的筹划，是一项“估算工程”。
就概念层面而言，可以对估算有一个整体理解：概念层面的估算通过事实层面得到表述，并作为操作层面的依据去解决具体的估算问题。抽象是概念的必然要求，概念是解决估算问题所依赖的理论工具。学生掌握的抽象的估算概念越丰富，就越能合理地解决估算問题。在数学上，估算概念是一种条件与方法都明确的算法语句。从这方面来说，估算概念是基础的、封闭的。
（三）基于“综合性”的估算过程建构 综合估算的事实、操作与概念这三个层面，就可以得到一般性的估算过程：从估算条件出发，根据估算目的和估算概念得到估算方法，从而得到估算结果。
在具体教学中，有两种可能的教学进程。一种是“事实—操作—概念”的线性进程。首先，掌握估算的事实方面，即通过范例让学生记住一些具体的估算指令;其次，在变式练习下巩固对一系列估算事实的掌握，从而让学生可以熟练地运用各种估算方法;最后，通过熟练的操作将估算的各种事实描述内化为概念，学生可以自如地运用各种估算方法，甚至合理地创造新的方法。
另一种教学进程是通过情境同时进行三个层面的教学，依据不同复杂程度的情境，将估算的各个步骤都交给学生自由地进行取舍和运用，引导学生由浅入深地理解估算过程，使他们在此过程中不断加深对估算目的、估算概念、估算方法、估算结果的理解和内化，形成对估算过程的整体认识。
上述两种思路都是教学的可能路径，在实践中产生第三、第四种思路也是必然。无论何种教学进程，都需要综合考虑估算的事实、操作和概念这三个层面，如此，才可以使学生真正掌握估算的过程。
三、估算关系的认识：“孤立的”还是“联系的”
（一）“孤立的”估算关系带来教学的割裂
估算教学中普遍存在的一个误区，就是忽视了各领域中多种估算类型的内在联系。不少教师都认为它们几乎是不相关的，有着不同的估算方法和思路。从心理学研究的角度来看，国外主要将估算分为三种类型——数量估算、测量估算、计算估算，每一种估算都有丰富的研究成果，这表明各种类型的估算之间确实具有较大的差异性——有着不同的心理机制和心理运算路径。教师的认识割裂进而造成学生的学习孤立，使得学生将估算的学习看作一个个点状的知识，难以形成完整的认知结构，更不用说进行估算策略之间的融合和灵活运用了。
（二）基于四大领域的估算類型分析
基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》四大内容领域的编排，我们对数量估算、测量估算、计算估算以及统计估算分别进行阐述。
1.数量估算。
数量估算可以作为整个估算体系的基础，它可以看作最简单的估算类型。当你在估计有几只小鸟、几个凳子、几个人时，就是在进行数量估算。对数量估算研究最为重要的结论，是儿童具有多种数量估算的模式，整体上是从对数模式向线性模式发展。显然，线性模式是更准确的数量估算模式。
2.测量估算。
测量估算是数量估算的自然延伸，它们的区别主要是估算对象的改变。数量估算的对象主要是离散的;测量估算关注的则是对象的连续性，或者说关注对象某种可以量化的属性，如长度、面积、重量等。量的感觉是内在的，而量的概念是外在的，这种内外联结是一个复杂的过程，它既要求具有对象各种属性的背景知识，又要求具有关于对象的深入认识经验，是以单位量为前提、以数系统为条件进行测量估算。这实际上是一种内在朴素的推理过程。这两种估算最大的特点，就是它们都要求学生兼顾数感和一般的感觉，这种一般的感觉包括视觉与空间感、触觉与重量感等（与估算的对象有关），并且最终形成量感。
3.计算估算。
计算估算是从具体数字到数字的估算，不涉及具体的现实对应物，它也是真正需要计算的一种估算。计算估算可以概括为两个步骤：一是将已有算式进行简化，包括改变数字或运算;二是进行运算，这是计算估算的核心问题，但这一核心问题还需要目的性这一估算原则的引导。在计算估算中，我们需要为其找到动力机制：为何需要进行估算？为何用某种方式进行估算？估算的目的可能有如下几个：一是检验算式的正确性，可以用估算作为一种简约方法;二是精算的不必要性，现实生活中大量使用计算估算，因为精确的答案是不必要的，人们追求用更短的时间得到模糊、大概的答案;三是学习新的运算，如在学习小数的运算时，可以借助估算先知道大概的答案，以加深对小数的理解;四是促进对运算律的理解，在改变运算时通常都包含着运算律的影响。
4.统计估算。
在小学数学教学中，把统计的过程作为一种估算的过程是一种大胆但很有价值的尝试。它们之间具有丰富的相似性，都是过程与结果的综合，过程都具有多样性，结果都具有不确定性，并且都追求合理性。可以说，估算视角给予统计教学重要的启示，统计视角反过来拓展了估算教学的内涵。
具体来看，我们可以把统计估算分为两个部分——估算的准备和估算的进行。以教材的安排来看，统计部分都是估算的准备，只有概率部分才是估算的进行。但是，估算本身是一个完整的过程，需要兼顾准备过程与进行过程。
与其他三种估算相比，统计估算的过程更加复杂，其中包含定量与定性的因素，要求学生综合考虑多方面因素。但归根结底，它仍然是一种估算，且最能体现估算的“连续性”，整个统计过程都是为了估算本身能够尽可能地成为“好”的估算。需要补充的是，统计估算总是面向一个具体的现实问题，它的操作过程总是或多或少地包含着其他三种估算，因而可以把它作为估算教学的一个转折点。即，在学习了数量估算、测量估算和计算估算之后，学生才算有了一定的、抽象的估算概念，也就是有了对具体情境要素进行分析的依据，此时，统计估算往往提供了情境，让学生体会完整的估算过程。这样，再回到其他任何一种类型的估算时，学生都可以审慎地思考问题，并能作出合理的回答。
（三）用“联系的”视角重新认识四种估算类型
区别于作为心理科学的一般性估算类型研究，作为教育教学内容的估算要求学习者不仅要学习估算，更要学习数学，并从中培养知识、技巧、思维、情感等多方面的能力。因此，小学数学课程体系及课程标准应给予各种估算教学一种融合的可能。
综合来看，我们可以从对象、教学关键点和教学共同点这三个方面来整体审视上述四种估算类型（如表1）。 四、估算价值的认识：“知识的”还是“素养的”
（一）“知识的”价值认识无法面向未来
长期追求具有精确性、封闭性、唯一性的标准化答案，使得教师和学生都习惯于线性思维，习惯于算法思维，将估算看作固定的知识去教授或运用。这种思维方式和学习方式不足以帮助学生应对瞬息万变、充满挑战的未来。
（二）“素养的”价值认识引发对可能性思维的关注
估算作为小学数学教学中最为常见的一个知识点，几乎贯穿于整个小学阶段。而估算活动本身又是人类认识世界、理解世界的一种重要方式。在日常生活中，估算甚至比精算更为常用，更多地涉及开放性、多样性和不确定性等。在大多数情况下，估算并没有一个唯一的答案，而是追求一个合理的答案、一个合理的估算过程，这个过程可以有多种选择，依据不同的目的可以有多种不同的呈现方式和解释。综合来看，估算是一个更为复杂的心理运算过程，需要更多的思维投入。这就要求教师把握住每一次估算教学的机会，把它们看作促进学生素養发展的一种重要渠道。
首都师范大学郜舒竹教授认为，可能性思维在估算教学中十分重要。所谓可能性思维，就是针对不确定事物或现象进行列举、比较、筛选与判断的思考过程。其基本模式是在对诸多可能性列举的基础上去寻找证据，通过对这些可能性及其证据进行比较，形成对可能性大小的判断。因此，在课程内容中挖掘可能性思维的因素就显得十分必要。当学生的学习活动中出现多种答案时，教师需要容忍并鼓励不同，宽恕并理解错误，引导学生经历列举、比较和判断的过程。
（三）对立统一中的估算精神培育
虽然可能性思维在估算教学中十分重要，但算法思维并没有被估算所抛弃。当条件确立以后，方法同时被确立，就可以得到一个唯一的结果，这是估算过程中的重要环节。也就是说，估算的可能性不是一种犹豫不决的转换过程，而是对问题条件的多种解读，是对估算方法的分析与选择，在此之后就需要以一种确定性的运算程序解决问题。如果缺少这最后一个步骤，那估算活动就只能在无意义的各种可能性之间徘徊，让学生形成估算就是任意的猜测或者估算就是错误答案的误解。
可能性思维与算法思维的兼顾也自然引出一种估算精神。它作为一种情感，可以让学生体会到数学学习并不总是追求精确的答案，也需要我们深入不确定、可能性之中，去分析多样的问题情境，在多种不同的方法之间进行选择，数学在此不再要求绝对正确的答案，而要求更合理的答案。但两者拥有共同的思想源泉，即数学地思考。可见，在情感层面，估算的学习可以使学生形成一种估算观，同时也能丰富他们的数学观，拓展他们自我数学观的外延。
以上，是我们对现实教学中教师因对估算本质、估算关系、估算过程、估算价值认识不到位而产生的诸多问题的呈现、分析和思考。带着这些认识和思考，我们将付诸实践，在整体、系统、结构化的视野下形成对估算教学新的研究。
【参考文献】
[1]徐文彬，孙敏.估算、估算教学及其育人价值[J].江苏教育：小学教学，2019（12）：7-11.
[2]郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2015.
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