几何形体上积分的教学设计
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作者:朱本喜
[摘 要] 高等数学中积分学是一个复杂的知识体系，学生在学习的过程中，各种积分的定义、性质及计算经常混淆。为了方便学生学习，将定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分统一定义为几何形体上的积分，给出统一的性质，然后针对不同的几何形体研究计算方法。
[关键词] 几何形体;度量;积分中值定理
[基金项目] 吉林大学校级教改项目“新工科理念下“高等数学”教学的探索与实践”（2019XYB083）
[作者简介] 朱本喜（1979—），女，博士，吉林大学数学学院副教授，主要从事积分方程与大学数学公共教学与研究。
[中图分类号] G642.0 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2020）17-0319-02 [收稿日期] 2020-02-07
高等数学中积分学包括一元函数不定积分和定积分，多元函数二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分，第二型曲线积分和第二型曲面积分，这部分内容概念多，性质多，计算方法复杂。因此学生在多元函数的学习过程中容易混淆概念和性质，在计算不同类型的积分时候也经常出现分不清楚的问题。针对这些问题，结合定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分这五种在定义和性质上具有共性，将这五种积分统一称为几何形体上的积分，给出统一的定义和性质，然后再在不同的几何形体上去研究各种积分的计算方法。
一、教学分析
1.教学内容。几何形体上的积分是定积分，二重积分，三重积分，第一型曲线积分，第一型曲面积分的统称。在此之前，学生们已经学习了定积分，这为过渡到多元函数的积分的学习起到了铺垫的作用。同时，本节课的定义的引入是学好多元函数积分学的关键。
2.学情分析。几何形体上积分的教学目标学生是工科大一学生，学生的特点是偏好动态具体事物，为使学生更容易接受抽象的概念，采用直观演示，比如讲授二重积分的几何意义的时候，用Matlab软件演示“分割、近似、求和、取极限”的过程。同时考虑到现在大学生热衷网络短视频的特点，在教学过程中采用智慧教学手段，在智慧教学平台上发布微课，短视频等教学相关内容激发学生的学习热情。学生主动能力欠缺，抽象思维不足，而且内心急切希望感受数学的适用价值，针对这些特点，教学过程中引入应用具体实例，让学生熊具体实例中感受数学的实用之美。
3.教学目标。（1）思想目标：培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，“化整为零零积整”的辩证唯物观。（2）知识目标：了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法，会求不同几何形体构件的质量.掌握几何形体上积分的几何应用和物理应用。（3）能力目标：学会用“分割、近似、求和、取極限”的思想方法去解决在不同几何形体上非均匀量的求和问题，逐步培养学生分析问题、综合归纳多个问题的思维能力。（4）支撑目标：高等数学是工科学生的“工具”，他们以后在专业领域里要用这个“工具”来解决问题，所以教学过程总了解不同专业学生的需求，针对本专业培养目标和毕业要求的引入相关的实例以达到对专业的支撑度。
4.教学重点和难点。（1）教学重点：利用“分割、近似、求和、取极限”的思想引入几何形体上积分统一的概念，不同几何形体上积分的具体形式以及不同几何形体上积分的计算。（2）教学难点：根据实际问题抽象出几何形体上积分概念，不同几何体上积分的相同点和不同点。
二、教学设计
1.任务驱动法教学。课前复习一元函数定积分的概念和性质，用定积分来求非均匀直线型构件的质量。在教学平台发布任务：探求不同几何形体构件的质量。将以往以传授知识为主的传统教学理念，转变为以解决问题、完成任务为主的多维互动式的教学理念，使学生处于积极的学习状态，每一位学生都能根据自己对当前问题的理解，运用共有的知识和自己特有的经验提出方案、解决问题。
2.学生为主体，教师为主导。以探究不同几何形体构件的质量问题为纽带，给学生创造自主探究、合作交流的空间，启发学生运用“分割、近似、求和、取极限”的思想去解决非均匀分布在不同几何形体上的总量问题。引导学生从已知知识到未知领域数学知识再发现的过程，让学生归纳总结得出不同几何形体构件质量的求法。教学以板书为主，优点在于，学生注意力集中，能有效进行师生互动。
三、教学过程
1.定义介绍。首先通过求直线型构件的质量，复习“分割、近似、求和、取极限”的思想，回顾定积分的定义。接下来引导学生探究不同几何形体构件的质量，教师首先介绍用“分割，近似，求和，取极限”的思想求面密度为f（x，y）的平面薄片D的质量，然后让学生分组探讨曲线型，曲面型，以及空间立体型构件的质量问题，并小组代表发表讨论的结果以及所运用的数学思想和方法。归纳总结解决不同几何形体构件质量问题所采用的方法以及所求的质量的数学表达式，抽象出几何形体上积分的定义。最后，根据几何形体的不同，分别介绍二重积分，三重积分，平面曲线和空间曲线的第一型曲线积分，第一型曲面积分的具体表示形式，并对每一种积分详细说明。
2.性质介绍。什么样函数在几何形体上可积呢？如果函数f（M）在有界几何形体Ω上有连续，则在几何形体Ω上函数f（M）可积。将定积分的性质推广得到几何形体上积分的性质。以二重积分为例，证明比较性质，估值不等式以及积分中值定理，其他几何形体上积分的性质证明作为练习。二重积分的几何意义和第一型曲线积分的几何意义也需要单独说明。
3.积分计算。首先介绍积分区域关于坐标轴或者坐标面对称，被积函数关于某个自变量具有奇偶性，这种情况下可以简化积分的计算。还有积分区域具有轮换对称性时积分计算也可以简化。
几何形体上积分的计算遵循从易到难的原则，首先介绍第一型曲线积分的计算，即转化为定积分;其次介绍二重积分的计算，在二重积分计算中分别介绍直角坐标下和极坐标下二重积分的计算方法;再次介绍第一型曲面积分的计算，第一型曲面积分计算中注意被积函数时定义上曲面上的，可以用曲面方程代换;最后是三重积分的计算，三重积分在直角坐标下可以用“先一后二法”“先二后一法”“三次积分法”三种方法计算，根据被积函数的表达式，还可以选取柱面坐标和球面坐标计算三重积分。 4.积分应用。（1）几何应用：几何形体上的积分根据几何形体不同，可以用来求弧长，面积和体积。计算曲线的弧长可以选取第一型曲线积分和定积分;计算平面区域的面积可以用定积分和被积函数是1的二重积分，计算空间曲面的面积，根据曲面的性状可以选取第一型曲线积分或者被积函数是1的第一型曲面积分;计算空间区域的体积，可以用定积分，二重积分和三重积分。（2）物理应用：对于各种不同的几何形体Ω给出统一的质心计算公式和转动惯量公式，另外，定点的质点与几何形体之间的引力问题也可以用统一几何形体上积分的的形式写出来。
四、教学反思
在整个几何形体上积分的教学过程中，始终坚持以学生为主体，通过实例引入，激发学生的兴趣;分组讨论，积级自主探索问题;借助雨课堂，数学软件Matlab，微信群等智慧化手段，提升课堂的趣味性。将知识重难点尽可能多的进行分解，并繞开抽象的定义，以不同几何形体构件的质量为载体，讲解几何形体上积分的概念，激发学生的兴趣，并且让学生了解数学的应用之美;运用多媒体，动画演示“分割、近似、求和、取极限”的过程，使抽象过程直观化。通过实践发现，这些做法加深了学生理解认识，几何形体上积分的实际背景、本质内涵、思想方法，也为学生将来应用积分学解决实际问题打下了良好的基础。
参考文献
[1]朱玲.定积分概念的教学设计[J].科技经济导刊，2019，27（11）：143-144.
[2]王艳，赵彦晖，袁莹，燕列雅.多元函数积分学教学内容改革及效果调查[J].高等数学研究，2017，（2）：59-63.
[3]同济大学数学系.高等数学（下册）第七版[M].高等教学出版社，2014.
[4]李辉来，郭华，孙毅.大学数学——微积分（下册）第三版[M].普通高等教出版社，2015.
Abstract：The knowledge of calculus is a complex knowledge system.In the process of learning，students are often confused by the definition，nature and calculation of integral.In order to facilitate students' study，we define definite integral，double integral，triple integral，line integral with respect to arc length and surface of a scalar field as integral on geometries.And we give the properties of integrals，and then study the calculation methods for different geometric shapes.
Key words：Geometry;Measure;Mean value theorems of integrals
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