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立足课标?突破囿限?培养学生思维能力

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  【摘要】在数学课堂教学中,“用数轴上的点表示无理数”这一内容的教学,往往容易呈现偏差,或过于简单,一带而过;或过于复杂,但又不注重通过教学发展学生的思维能力。本文在课标研究基础上,着眼于发展学生思维能力的角度,对这一内容教学进行了设计,并得出教学启示。
  【关键词】初中数学;课标;无理数;思维能力
  “用数轴上的点表示无理数”是北师大版初中数学教材八年级上册《实数》一章的第六节内容“实数”中的“议一议”。按照教材安排,这个内容与实数概念、分类运算规律律等为同一节课。对于刚刚在第一节认识无理数、刚刚学习带根号的无理数的学生来说,这样的教学内容无疑是教学难点。在听取两位青年教师的讲课后,发现不少问题。他们的共同特点是:把知识教“狭窄”了——仅手把手教学生画 ,把知识教“呆板”——只教作图程序知识,没有教分析方法、思维方法。如何透过这个难点培养学生思维能力?为此,笔者提出以下教学策略来突破难点、培养思维能力。
  一、设计培养思维能力的教学序列,巧妙突破策略
  1.于自主探究中发展思维能力——由形到数
  ①教师提出问题:直角三角形的两直角边分别为1、1,斜边长是多少?这是个什么数?运用什么知识求解?发现什么方法?
  【设计意图】学生计算,得出。明晰的长度可以通过画直角三角形来获得,揭示勾股定理在这里的运用价值,初步掌握这种画图分析方法。
  ②通过以下三组探究,发现更多的无理数的画法。学生独立操作,画草图分析,然后交流。
  第一组:从两直角边分别为1、2,1、3……1、10。
  第二组:从两直角边分别为1、1,2、2,3、3……10、10。
  第三组:从两直角边分别为1、2,2、3,3、4……9、10。
  【设计意图】第一组可以画出的数是 (可以化为 的倍数). 第二组可以画出的数是 ,它们可以化为的倍数。第三组可以画出的数是 。通过学生操作,达到四个目的:一是真切地直观地感受到帶根号的无理数的长度;二是经历大量的画草图分析的过程,熟练地用勾股定理求出直角三角形的斜边长,了解不同的无理数的长度 “是怎么来的”,即感受借助这种数学模型思考;三是发现这种数学思考模型所列出来的无理数并不齐全;四是把学习主动权还给学生,让学生经历探索过程,通过切身体验发现方法、获得知识。
  2.于分析数构造形中培养思维能力——由数到形
  任意给出一个带根号的无理数,倒过来想,勾股定理的计算过程怎么会得出这个结果,然后再由此还原这个带根号的无理数属于什么形状的直角三角形。
  教师提出分析样例:的分析过程。根据勾股定理a2+b2=c2, ()2=10.思考,哪两个数的平方和是10呢?12+9,22+6,32+1。但要满足,两个数都必须是某个正整数的平方,由此想到,12+9,即12+32,此时,1和3就是直角三角形两只角边的长。简要表述为:对于 我们可以思考哪两个数的平方和等于10,通过实验、计算,找到符合条件的两个数,它们就是以 为斜边的直角三角形的两条直角边。接下来,请学生分析至中带根号的无理数的情况。发现在需要分析 这些数中,只有可以使用上面的方法。也发现 可以用勾股定理的变形式来思考。其他可以在此基础上,借助一些简单无理数的长度再次构造直角三角形来实现。
  【设计意图】从给定的带根号的无理数进行分析,还原该无理数代表的线段所在的直角三角形,从而把“数”转化为“形”,用线段表示线段的长度,为在数轴上找到这个无理数的位置打下铺垫。同时,也为分析带根号无理数“由数化形”找到解决此类问题的一般性方法。
  3.于动手画图中感受对应关系培养思维能力——数形结合
  ①特例的准确对应
  上面,通过画直角三角形的方法,得到一些斜边是带根号的无理数,如何把它们画在数轴上呢?
  方法一:画好后,借助圆规“量”,然后在数轴上截取即可。
  方法二:把直角三角形画在数轴上,然后用圆规在数轴上画弧,把长在直角三角形上带根号的无理数那段长度“转”到数轴上。
  ②在数轴上标注任意带根号的无理数的大致位置
  师生一起分析至中带根号的无理数如何在数轴上大致表示出来。
  教师以为例,它在与之间,即4与5之间,但靠近4。其他的都由学生来分析,并标注在数轴上。让学生感受到实数与数轴上的点的一一对应性,在直观体验中,增强学生的数感。
  【设计意图】前面学习过在数轴上表示有理数,学生已经知道,整数可以比较准确地在数轴上表示出来。而无理数,是否能在数轴上表示?通过第一个问题“直角三角形的两直角边分别为1、1,斜边长是多少?”已经有了初步了解,但还不是很清楚。通过画图教学,启发学生:无论是无限不循环小数形式,还是带根号形式,都不能准确表示,只能大致表示。
  二、教学反思
  1.以上教学序列是否符合课标要求
  课标的要求是“知道实数与数轴上的点一一对应”。教材给出的画法,课外练习只要求在数轴上找到的点。教师用书对此的教学目标没有明确给出。在设计目的处是这样说的:“目的在于引导学生将实数和数轴上的点建立一一对应关系。这种关系的建立,将‘数’这一代数对象赋予了‘点’这一几何特征,实现了数与形的结合。”“这里先给出一个无理数的数轴表示,然后再让学生类似地在数轴上表示另外一个无理数。由此推想,无理数也可以用数轴上的点表示,从而初步获得对‘每个实数都可以用数轴上的一个点来表示’的感性认识”。也提到,“初中阶段无法严格说明它们的正确性,教学时可结合具体例子让学生感受,不要深究”。基于以上要求,教学这一内容时,不必举出学生难以在通过作业本画出的无理数,也不必给出太多这样的画图训练,更不必介绍如何进行严格说明或证明。
  对照以上要求,反观以上教学序列,可以发现,这样的教学把知识教“宽广”了——找到画出带根号的无理数并标到数轴的通性通法;把知识教“活”了——教作图程序知识只是示范,更多地是从学会分析问题的方法和数学思维方法。仅从知识的量的角度去思考,这样的教学已经超过了课程标准的要求,但从课标的基本理念来说,借助一定的数学知识的教学,让学生经历探索发现来获得数形结合的思想方法、学到解决一类问题的通性通法、发展学生高阶思维能力、培养“四能”,这样的教学又是符合课程标准的要求的。这样的教学又何乐而不为呢?当然,可以视学生的实际情况,把这样的教学放在课堂上或者放在数学兴趣小组教学上。
  2.得到的启示
  以上对一个教学内容进行的分析思考,可以得到两点启示:
  ①在教学前要善于制定准确的教学难点,要想方设法寻找最佳的突破策略。以上提供其中的一个突破策略,在实际教学实施中表明,其教学效果大大激发学生的探究热情,取得较好的学习效果。不同风格的教师一定还有更多更好的突破策略;
  ②备考时要吃透课程标准要求。要深度理解教材的基础上,对教学内容进行整合、拓展,让教学过程成为发展学生思维能力的过程,使学生学会用数学的方法进行分析思考。
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