圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧

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　　摘要：圆锥曲线在高考中命题趋势近年来变化比较多，但是圆锥曲线的命题大部分题型与解题方式都比较固定。本文笔者将对圆锥曲线的命题趋势、解题思路以及如何对学生进行训练进行探讨。
　　关键词：圆锥曲线;解题思路
　　一、圆锥曲线的命题趋势
　　（一）直线与圆锥曲线的位置关系的问题将仍是高考命题热点，求曲线方程、求弦长、求面积、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题也很常见。同时由于导数的介入，切线问题将更多地引入到综合性的问题中。
　　（二）圆锥曲线试题在试卷分布中有位置前倾的趋势，其目的是加强对圆锥曲线的基本概念、基本方法、基本技能方面的考查，考查的方式更为灵活，试题的编制也更为新颖。圆锥曲线现在考试中的地位越来越重要。
　　（三）综观各套高考试题，多以直线与椭圆为载体。试题入口低、观点高，突出考查解析几何的基本知识、基本思想，兼顾对数学思想和数学能力的考查。
　　（四）现在圆锥曲线对于学生的要求及命题方向
　　“注重通性通法，淡化特殊技巧”是数学大纲中坚持的命题思路，历年高考试卷都体现了这个指导思想高考注重考查学生对基本思想方法（如数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等）的理解，要求学生不仅要有知识的积累，更要有解题方法的归纳，掌握常见的解题方法，并能研究通性通法，体会其中所蕴含的数学思想方法。其中涉及比较多的内容和方法有以下几点。
　　（1）圆锥曲线的定义、标准方程及简单几何性质的应用。这是圆锥曲线的基础内容，在2017年高考各省（区、市）的试卷中都有这方面内容的试题，重在考查基础知识、基本方法，以选择题、填空题为主，为中档题目。
　　（2）求曲线方程的问题，所涉及的求解方法有定义法、轨迹法、待定系数法等，是高考中的常规题型，解题的关键是数形结合，建立起各变量间的等量关系。
　　（3）圆锥曲线结合了函数、向量、不等式、三角函数和几何知识，是考查学生的综合运用能力的重要载体。向量具有代数与几何的双重身份，因此解析几何与平面向量的交汇整合是2017年高考命题的一个热点;涉及圆锥曲线的弦长、三角形面积的最值问题，常常可以转化为求函数的最值。因此三角函数、导数、不等式等知识为这类问题的解决提供了新视角，这类问题在2017年高考中也得到体现。
　　二、圆锥曲线解题思路
　　（一）解析几何的核心思想一用代数的方 法解决几何问题。其核心的解题方法是坐标法。所谓坐标法，就是建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数工具、方法研究并获得结论，然后再解释几何对象。
　　（二）求圆锥曲线轨迹方程的考察题型
　　求圆锥曲线的轨迹方程步骤可以简单概括为：建设现代化。即建立坐标系、设曲线上任意一点即相关点的坐标、根据题目条件列出方程、化简方程。
　　（三）求直线的斜率、线段长度、方程等问题
　　这类题通常和向量、三角函数等部分的知识联合考察，对学生处理数学问题的综合能力提出了较高的要求。
　　（四）圆锥曲线和直线的位置关系问题
　　直线和圆锥曲线的位置关系也是经常考察的内容，一般是从代数和几何两部分确定解题思路。直线和圆锥曲线之间有三种关系：相交、相切、相离。解答这种类型的题要充分掌握圆锥曲线的定义，利用数形结合的方法解答可以简化问题。
　　（五）圆锥曲线和圆结合的问题
　　圆锥曲线和圆综合考察的问题非常具有挑战性，能够充分考察学生的数学知识掌握能力和灵活运用能力。要熟练掌握圆的基本特性和計算的圆的方程，才能快速的和圆锥曲线连接起来，快速的解答出答案。
　　（六）圆锥曲线和向量的综合问题
　　圆锥曲线和向量的结合考察通常是利用向量之间的关系来得出坐标之间的数量关系。有的是问题以向量形式出现，有的是求的问题用向量的形式考察，总而言之，用向量语言表达几何关系是命题人越来越钟爱的问题。学生在解答这类题型时一定要先掌握向量部分的基础知识，了解向量的意义。解答圆锥曲线和向量的结合题目关键是利用向量的几何意义和坐标化进行转化，然后利用圆锥曲线的知识进行解答。这类题往往要用到向量的特性，而且需要结合一元二次方程。
　　三、教学问题
　　圆锥曲线的解题教学方面存在两个不良倾向：
　　（1）刻意地把几何条件的转化当作所谓的‘亮点”有的教师选择一些几何条件复杂、不易转化利用的题目，竭力分析如何巧妙转化，这样只能增加教师授课的吸引力，但冲谈了解析几何基本思想的落实。有的教师从几何条件的分析转化出发，列出多种方法，剩下的运算留待学生完成。事实上，几何条件的转化是为坐标法的顺利实施提供支持的。综观各套高考试题，考生在读懂题意方面没有较大障碍，能够尽快厘清条件信息，找到解题思路。其中，几何条件的转化并不复杂。
　　（2）过分的模式化训练。好多教师习惯于题型归类、方法总结。比如有的教师从易到难划分题型：位置关系问题、最值与范围问题、定点与定值问题、存在性探索性问题，等等，并且加以解题训练。通过各类题目总结许多“解题模式”，这样会给学生带来负面的“条件反射”事实上，不管何种题型、不论如何变化，说到底只有一种方法一坐标法。
　　四、如何提升学生解圆锥曲线题的能力
　　圆锥曲线的内容一直是中学数学学习的重点和难点，其知识点繁多，对考生运算能力、综合性都要求很高，分析以上高考命题的特点和趋势，我们在复习过程中始终要做好以下几点。
　　（1）夯实基础，回归课本
　　要对课本中的圆锥曲线的定义、基本性质理解透彻，回到课本中去，回到基础中去，理清知识发生的本源，搭建高中数学基础知识的网络。注重常规问题的基本解法，抓住通性通法。高考试题很多是源于课本的例题、习题，因此，对于课本上的例题、习题，我们应通过充分挖掘、延伸、变式，落实对知识点的深刻理解，起到举一反三的作用。
　　（2）强化运算
　　在几何问题代数化的过程中，必然会带来繁杂的运算，中学阶段对运算能力的要求集中体现在这里。在运算求简的过程中，常见的方法有：回归定义，以简驭繁;设而不求，整体运算;充分运用图形几何性质，简化计算;利用韦达定理化繁为简;选用方程适当形式，减少运算量。
　　（3）训练思维，提升方法
　　高考试题侧重于考查知识的综合灵活运用，着眼于知识点新颖巧妙的组合，试题新而不偏，活而不过难，着眼于对数学思想方法、数学能力的考查，要求以数学思想指导知识、方法的运用，整体把握各部分知识的内在联系。因此在学习过程中要看清知识发生的本源，看透知识的形成过程、推广过程和运用过程，不仅能掌握具体的数学知识，而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。
　　参考文献
　　[1]陈峰.高中生圆锥曲线学习障碍及应对策略的研究[D].苏州大学，2015
　　[2]王小龙.高中数学圆锥曲线教学中存在的问题与解决策略[D].海南师范大学，2014
　　[3]刘胜林.一道周测试题的解法探析与教学反思[J].数学通讯，2017（3）：38
　　（作者单位：柳城县中学）
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