架起学生“数”与“形”的立交桥
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摘要：学生在解决一些图形问题时常常感觉有困难，而教师在平时的教学中比较重视学生抽象思维的培养，却忽视了学生形象思维的发展。如何促进学生的思维与能力协同发展？最好的方法就是为学生搭起一座桥梁——“数形结合”。在教学过程中，教师应做个有心人，充分利用“一图抵百语”的优势，向学生渗透“数形结合”的思想，引领学生走进数学的神奇殿堂。
关键词：抽象思维;形象思维;数形结合
逻辑思维的始祖亚里士多德说过：“心灵没有意象就永远不能思考。”數学知识本身具有很强的抽象性。数学是什么？18世纪，恩格斯在考察了整个数学发展的历史后指出：“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系这一非常现实的材料为对象的。”因此，教师在教学中必须突出数形结合思想这一数学的精髓和灵魂。
联系平时的课堂，以及对学生进行的调查，我发现目前有相当一部分学生在解决一些图形问题时常常感觉有困难，而我们教师在平时的教学中，比较重视学生抽象思维的培养，却忽视了学生形象思维的发展。那么，如何促进学生的思维与能力协同发展？
一、数形结合——培养学生思维的灵活性
教师在引导学生解决问题的过程中，要善于利用“数形结合”的方法，启发学生思维，调动学生思维的积极性，以培养学生思维的灵活性。
在学生用通分的方法算出第①小题后，教师可以启发学生思考：还有没有更简便的方法？如果学生一时想不出，我们可以这样巧妙地引入：一块菜地，它的 用来种青菜，它的 用来种萝卜， 用来种土豆，它的 用来种西红柿，这四种蔬菜的面积一共占这块地的几分之几？
教师引导学生想到借助画图来理解，配合图形进行分图巧算，充分利用“数形结合”，将学生的思维引向深入。可以先画一个正方形，这个正方形的一半就是它的 ，剩下长方形的一半就是它的 ，再把剩下的正方形平均分成两份，一份就是大正方形的 ……
这一过程绝不是简单的模仿和记忆，而是在将数字的计算与图形的分割巧妙结合之后，将抽象的纯数学知识转化为具体形象的、便于学生理解的表象，从而将数与形有机地结合起来，发展了学生思维的灵活性。
二、数形结合——培养学生思维的深刻性
思维的深刻性是小学生思维品质的基础。教师在平时的教学中，要善于引导学生依据问题与已知条件的内在联系，由数想形，以形思数，把抽象的问题直观化，具体化，引领学生把握数学问题的本质，使学生不仅知其然，而且知其所以然，从而达到培养学生思维深刻性的目的。
例：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多3张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？
学生通过看图，一目了然地看出题中隐藏的数量关系，实际上“拿出画片的一半还多3张”也就是：先给一半，再送3张。这时还剩25张，学生很自然地理解了解决问题的方法：先用（25+3），得到总张数的一半，再乘2，得到小军原来有多少张画片。
当然，有的老师通过实物演示，也达到了很好的效果：让学生亲自到前面拿出画片的一半，再抽出3张，这时告诉学生还剩25张，学生也很容易倒过来进行推想。
其实不管是画图演示，还是通过实物演示，都是从数学的感性材料出发，通过逻辑思维，揭示数与形的本质特征，透过表面揭示问题本质。
三、数形结合——培养学生思维的独创性
在面对一些新问题时，能采用相应的对策，思维不循常规，并且能采用独特、新颖的解题方法，这就是思维的独创性。在平时的教学中，我们应积极引导学生对题中的数量关系、问题的结构特点进行探索，寻求规律，把数与具体图形或实物结合起来，帮助学生借助具体形象进行抽象思维，从而培养学生思维的创造性。
例：在一个圆柱形储水桶里，把一段半径是5厘米的圆钢全部放入水中，水面就上升9厘米;把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圆钢的体积。
【分析与思考】仔细读题，题目的意思还真是有点难理解。为了帮助学生理解题意，我一共画了三幅图：首先，在一个圆柱形储水桶中，原来有一些水（图1）。接着，将一个底面半径为5厘米的圆钢全部放入水中，水面上升了9厘米，引导学生观察思考：圆钢的体积就相当于上升的水的体积。最后，又出示了第三幅图，将圆钢拉出8厘米，水面下降了4厘米，说明拉出的一部分圆钢体积就等于下降的水的体积。引导学生仔细观察这三幅图。并思考：可以从何处入手呢？
一些学生通过观察，动脑筋想出了解决问题的办法：先求出拉出水面的圆钢的体积，也就是下降了4厘米水的体积，用5×5×3.14×8=628（立方厘米）;再求出圆柱形储水桶的底面积，用628÷4=157（平方厘米）;最后求上升了9厘米水的体积，也就是整个圆钢的体积，用157×9=1413（立方厘米）。
我表扬了这些学生善于观察、善于思考，同时激发学生思考：解决这一问题，你还有更简便的方法吗？经过思考，几位学生激动地举起了小手。A同学发现了这样的方法：圆钢拉出水面8厘米，水面就下降了4厘米，8厘米正好是4厘米的2倍;而将圆钢全部放入水中时，水面上升了9厘米，说明圆钢的高度是9厘米的2倍，也就是18厘米！那求圆钢的体积就很简单了：5×5×3.14×18=1413（立方厘米）。真不错！
爱动脑筋的B同学想到：我们可以将圆钢看作两段，水面以上的为一段，水面以下的为一段。结合图2，这两部分都沉入水中时，水面上升9厘米;一部分圆钢到了水上，水面就下降了4厘米，那水下的那部分圆钢，就相当于（9-4）=5厘米水的体积。根据4：5的关系，用8÷4×5=10（厘米），求出圆钢在水面以下的高度，再用（8+10）×5×5×3.14=1413（立方厘米），就可以求出圆钢的体积。 也许受刚才同学的启发，C同学又想到一种方法：求出水面以上的圆钢体积，因为4厘米占9厘米的 ，说明露在水面以上的圆钢体积也是占整个圆钢体积的 ，可以用5×5×3.14×8÷ =1413（立方厘米）。
课上，不断闪烁的学生创新思维的火花，来自于教师的巧妙引导与激发，更来自于教师为学生构建的桥梁——数形结合。
四、数形结合——培养学生的空间想象力
发展学生的空间观念包括发展学生的空间想象能力、空间思维能力及操作实践能力。当前学生的空间观念有待加强，发展学生的空间观念，最有效的途径是“数形结合”，让学生学会画图，逐步培养其空间想象力。
例如，六年级上册长方体和正方体单元，有这样一道思考题：
一个正方体，棱长4厘米，在它的表面涂上红色，每个面等距离地切三刀，平均分成64块小正方体。问：
（1）三个面涂红色的小正方体有多少块？
（2）两个面涂红色的小正方体有多少块？
（3）一个面涂红色的小正方体有多少块？
学生通过观察、比较、讨论、分析，得出一致结论：（1）三个面涂红色的小正方体在顶点处，共8块;（2）两个面涂红色的小正方体在每条棱的中间处，共12×2=24块;（3）一个面涂红色的小正方体在每个面的中间处，共6×4=24块。学生已经能够初步理解并独立解决这道思考题。
不过，为了进一步发展学生的空间观念和想象能力，我又设计了一道相似的拓展练习题：在长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块表面涂上红色，然后切成若干個棱长是1厘米的小正方体。
（1）三面、两面、一面涂色的小正方体各有多少块？
（2）表面不涂色的小正方体有多少块？
学生读完题目，都感觉到这个问题比较难，有些学生已经自觉地在纸上涂涂画画，我立刻将这些学生的行为加以表扬，放大。解决这样的问题，直接在头脑里思考是比较困难的，而把题中的图形画下来，就可以化抽象为具体，再加以观察，分析，就可以化难为易，逐步解决问题。
学生在画出立体图后，通过仔细观察后得出：
（1）三面涂色的小正方体还是8块（在8个顶点处）;两面涂色的小正方体在每条棱的中间，就可以用：（3+2+1）×4=24块;一面涂色的小正方体在每个面中间，可以用（6+3+2）×2=22块。
（2）表面不涂色的小正方体在哪里呢？有学生想到了在中间，但想不清楚是几块，怎么办呢？学生经过激烈的小组讨论、全班交流后，得出了不同的方法：
①用总块数减去三面、两面、一面涂色小正方体的块数，就可以得到中间没有涂色的小正方体的块数。先用5×4×3=60块，再用60-8-24-22=6块。
②将长方体的长、宽、高各减去2，就得到里面的长、宽、高，再相乘，得到中间没有涂色小正方体的块数。用（5-2）×（4-2）×（3-2）=6块。
这样的问题，也许有些难度，但却很好地激发了学生的思维。学生通过动手画图、动眼观察、动脑思考，发展了空间想象力;更重要的是在这一学习思考的过程中，他们想到采用数形结合的思想来解决问题，那真是一种境界的提升。
早在1637年，著名的数学家笛卡尔就将相互对立的“数”与“形”统一起来，研究产生了“解析几何”。如今，数形结合不仅是小学数学教材编排的一个重要特点，更是小学生解决问题常用的方法之一，同时又是一种数学的思想。在教学过程中，我们教师应做个有心人，充分利用“一图抵百语”的优势，向学生渗透“数形结合”的思想，引领学生走进数学的神奇殿堂。
（责任编辑：吴延甲）
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