功能梯度梁振动问题的研究
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摘 要：采用微分求积法研究不同高阶剪切变形理论下功能梯度梁的自由振动问题。假设功能梯度梁的材料参数按照组分的体积分数梯度变化，根据微分求积法原理，给出了考虑高阶剪切变形的功能梯度梁自由振动离散化代数方程。通过对数值计算结果分析与讨论，研究了不同边界条件对功能梯度梁固有频率的影响规律。
关键词：功能梯度梁;高阶梁理论;微分求积法;自由振动
中图分类号：TU311.1 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2019）16-0076-02
Abstract： This paper studies the free vibration of functionally graded beams based on High-order Shear Deformation Theory （HSDT） of different kinds by using the Differential Quadrature Method （DQM）. It is assumed that the material properties of the functionally graded beam vary according to the gradient distribution of the volume fraction of the components. Based on the basic principle of DQM， the discretization equation for the free vibration of high-order shear deformed beams is presented. Through the analysis and discussion of numerical calculation results， the influence law of different boundary conditions on the natural frequency of functionally graded beams is studied.
Keywords： functionally graded beam; Higher-order Beam Theory; differential quadrature method
引言
梁是一種常见的工程结构，广泛应用于土木工程、水利工程等领域。
科学家和工程师们提出了许多梁模型来预测梁结构的力学响应。其中，Euler-Bernoulli梁是研究较多也最为成熟的浅梁理论，但其仅适用于细长梁。为了避免采用一阶剪切变形理论需引入剪切修正因子问题，人们已经提出了多种高阶剪切变形理论。
功能梯度材料（FGM）[1]是新型复合材料，其材料特性从一个表面到另一个表面连续变化，因此消除了层状复合材料中界面处的应力集中。微分求积法[2，3]（DQM）被认为是一种需要的离散点少而数值精度又较高的数值方法，它的基本思想是把解的函数在给定离散点上的导数值用计算域内全部离散点处函数值的加权和近似地表示。
本文将采用微分求积法求解高阶剪切变形功能梯度梁的自由振动问题。重点分析各种不同边界条件、不同高阶梁理论和Winkler地基参数对梁自由振动的影响规律。
1 基本理论
由上表可以看出，本文DQM解与精确的结果非常接近。这说明微分求积法有很高的精度，对于解决本文研究问题是一种有效的数值方法。
4.2 不同边界条件的自由振动结果分析
为了说明不同边界条件对FGM梁自由振动的影响， 图2给出了跨深比L/h=5时，不同边界条件下FGM梁的一阶固有频率随功能梯度指数变化曲线。
可以看出，简支边界条件时一阶固有频率数值最小，固支边界对应的数值最大。一端简支一端固支条件下的数值介于二者之间。
5 结论
本文采用微分求积法，对Winkler弹性地基上的高阶剪切变形FGM梁的自由振动问题进行了研究，得出以下结论。
（1）数值结果证实了DQM解决高阶剪切变形理论下的梁自由振动问题的有效性，是一种精度较高的数值方法。
（2）通过对不同边界条件分析，可知简支边界条件下固有频率数值最大，固支边界对应的数值最小，而一端简支一端固支条件下的数值介于二者之间。
参考文献：
[1]Suresh S， Mortensen A. 功能梯度材料基础[M].北京：国防工业出版社，2000.
[2]王鑫伟.微分求积法在结构力学中的应用[J].力学进展，1995，25（2）： 232-240.
[3]Bert C W， Malik M. Differential quadrature method in computational mechanics a review [J]. Applied Mechanics Reviews， 1996， 49（1）： 1-28.
[4]Thai H T， Vo T P. Bending and free vibration of functionally graded beams using various higher-order shear deformation beam theories [J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2012， 62： 57-66.
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