从分析分式方程增根例谈学生数学思维能力培养

作者:未知

  【摘要】在初中分式方程的教学中,我们会碰到分式方程增根与无解的情况,教材中内容简单,要求也不高,教师在处理教材时,一般不会深入挖掘教材。如果我们去深入挖掘,那么这个内容是培养学生数学思维能力的好素材。笔者在课堂教学和练习中不断强化数学思辨,注重培养学生的数学思维能力。
  【关键词】分式方程;增根;数学思维;能力培养
  数学思维能力是数学能力的核心,它包括:分析能力、概括能力、抽象能力、判断能力、推理能力、探索创造能力,而其中分析、概括、抽象是思维能力的基础表现,判断、推理是思维能力的发展表现,探索创造是思维能力的高级表现。
  学生数学思维能力的培养不是一朝一夕的事,它是一项长期的系列化的过程,需要数学教师在教学中有培养学生数学思维能力的意识,并长期坚持,针对教材内容发掘教学内容的内涵,进行有计划、循序渐进地培养。下面笔者以分析分式方程增根为例,谈谈学生数学思维能力的培养。
  在讲初中数学分式方程增根的时候,如果我们只从应付中考的角度去思考的话,只要让学生明白两个问题即可:一是分式方程产生增根的原因;二是如何判断增根。教学内容非常简单,学生也很容易掌握,但是我们从培养学生思维能力的角度去分析、挖掘,效果就完全不同:
  一、通过分析、概括、归纳,找到产生增根的原因和判断增根的方法,培养学生的基本思维能力
  例:解分式方程:
  生:解:方程两边同时乘以x-1得:x2-(2-x)=0
  即 x2+x-2=0
  (x-1)(x+2)=0
  ∴x=1或x=-2
  师:将∴x=1或x=-2代入原方程试试,看有什么发现?
  生A:x=-2时,方程成立,但x=1时,原方程分母为0。
  生B:x=1时,原方程分式中有分母为零的现象,但分母是不可以为零的,x=1应该不是原方程的解。
  师:同学们分析解方程的步骤,能否发现或找到使分母为零的原因?
  生A:因为我们在将方程中的分式化为整式时是将方程两边同时乘以了(x-1)
  生B:两边同时都乘以(x-1),应该没有问题呀。
  师:同学们,我们分析一下下面的这个现象:①5=5,②4≠5
  现在我们将它们的两边都乘以2:
  5×2=10,5×2=10
  4×2=8,5×2=10
  5×2=5×2
  4×2≠5×2
  現在我们将它们两边都乘以0,再看一下结果:
  5×0=0,5×0=0
  4×0=0,5×0=0
  5×0=5×0
  4×0=5×0
  师:这个现象说明什么问题?
  生A:将两个不等的式子两边都乘以零,可使原来不等的式子变成相等。
  师:能否举些例子?
  生A:如与-2,≠-2,
  但×0=0,-2×0=0
  ×0=-2×0
  师:在上述解方程时,将所有项都乘以了(x-1),这个(x-1)的值有几种可能?
  生A:3种,正数、零、负数。
  生B:2种,①x-1=0,②x-1≠0
  师:两位同学按不同范围来分都对。
  师:请大家思考当x-1=0时,将方程两边都乘以(x-1),可能会出现什么问题?
  生A:方程两边都为零。
  生B:方程两边原来可能不等,但两边都乘以零后,就相等了。
  师:很好。当x-1=0即 时,方程两边可能由不等变相等,也就是x=1本来不是原方程的根,但因x=1时就是x-1=0,所以两边同时乘以(x-1)(即乘以0)而使方程成立,变成了方程的根,也就是增加的根。
  师:分式方程产生增根的原因是什么?
  生:方程两边乘以一个为零的式子。
  师:而这个可能为零的式子是怎么确定的?
  生:是分式方程中各分式的公分母。
  师:请大家归纳一下分式方程的解题步骤。
  生:解分式方程步骤:①找分式方程各分式的公分母;②方程两边都乘以公分母,将分式方程化为整式方程;③解整式方程;④检验。
  师:在检验时,用什么来判定求出的根是否为增根?
  生:使公分母不为零就行。
  通过这种分析、概括、归纳的思维过程,学生深刻理解了数学知识的内涵,形成了一种良好的思维习惯和能力。
  二、通过判断,掌握分式方程的解法和各种形态,培养学生的判断、推理思维能力
  1.通过解分式方程,让学生掌握分式方程的步骤,培养学生应用思维能力
  例:解分式方程:
  生:解:方程两边同时乘以x+1,得:4x+3x+x2=0
  (x+1)(x+3)=0
  ∴x=-1或x=-3
  经检验:当x=-1时,分母x+1=0, ∴x=-1是增根
  当x=-3时,分母x+1≠0,∴x=-3是原方程的根
  2.通过判断,掌握分式方程解的情况的各种类型,培养学生深度应用思维能力
  师:以上三题最后结果都是“无解”,能否发现它们的不同之处?
  生A:①③都是无解,②是无实数解。
  生B:①可以求到一个增根,无解,②是无实数根,③根本不成立。
  师:①③实际上是同一类问题,都不可能成立,②在实数范围内无解,言外之意,在实数范围外有解。但从表现形式上分类:一类除增根外,无其它解,一类是根本无解。
  三、改变提问方式,通过推理得到解决新问题的方法,培养学生逆向思维能力   在分式方程学习中,教师注重分析、概括、归纳,而往往忽视逆向思维的培养,造成学生思维受约束,思维不灵活,导致学生能力不强。若我们在教学中善于转变提问方式,可能让学生“举一反三”,灵活运用。
  例:已知无解,求a的值。
  师:此题就是的变形提问,将原来“已知a”分式方程无解,转换为“已知分式方程无解”求a。
  师:你们能否找到这个题的解题思路?
  生A:刚才讲了分式方程无解有两种情况:一类只有增根,无其它根,一类是根本无解。
  生B:本题可否可分两种情况讨论,一是只有增根,也就是找分母为0的未知数值,二是分式方程化为整式方程后,等式不成立。
  师:同学们分析得非常好,对前面的内容理解到位,大家一起完成解答。
  师生解:方程两边同乘以3(x-3)得:2x+9=12x+3a+6x-18
  16x=27-3a
  师:16x=27-3a可能是一个恒不成立的式子吗?
  生:不会,因为任意给一个a的值,都有一个x的值。
  师:既然如此,就只剩下另外一种情况,什么情况?
  生:取增根x=3,而无其它根。
  此时,水到渠成:∴a=-7
  再变换,例:已知无解,求a
  师:此题如何?
  生:方法一样!(哈哈)
  解:方程两边同时乘以3(x-3)得:2x+9=3(ax-7)+2(3x-9)
  (4+3a)x=48
  师:是否两边同时除以(4+3a)?
  生A:是。
  生B:不行,因为不知4+3a是否为0。
  师:非常好,分两种情况:
  师生共同:①当4+3a=0时,即a=时,方程不成立,所以原方程无解。
  ②当4+3a≠0时,取增根x=3,即
  ∴a=4
  這样的逆向提问让学生深度学习,深度理解,培养了学生深度思维。
  四、扩展问题外延,通过探索创造拓展知识应用,培养学生的发散思
  维和创新思维能力
  学生在学习中要善于发现问题,教师在教学中要着手创建问题,扩展问题的外延,这样才能让学生视野开阔,创新发展。
  例:已知的解为正数,求a的取值范围。
  师:这题与前面讲的有何相同和不同?
  生:式子相同,问题不同。
  师:能找到解题思路吗?
  生:能。
  解:方程两边同时乘以3x-9得:2x+9=3x+3a+6x-18
  a)师:是否就考虑a<9?
  生A:是。
  生B:不对,应该还要满足x≠3
  师:真棒。
  例:的根为负数,求 的取值范围。
  师:此题解题思路难找吗?
  生:不难,同上题。
  师:有区别吗?
  生A:有,方程不同。
  生B:上一题x≠3,这一题x≠-1且x≠2
  师:非常棒。
  师生共同:解:方程两边同时乘以(x-2)(x+1)得:
  ∵方程根为负数。
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-14884362.htm

服务推荐