对劳斯判据的浅略分析
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摘 要 劳斯于1877年提出了稳定性判据，在用于判断系统稳性时，又称为代数稳定判据，它能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而且不必求解方程，通过对系统特征方程D（s）=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0s0=0（an>0）各项系数特殊的列表计算处理，解决了对于高阶系统稳定性判断的问题，极大简化了判稳过程，它不仅能够解决系统的绝对稳定性问题，还能够检验系统的稳定程度，即稳定裕度，对自动控制理论的发展起到了极大的推进作用。在对劳斯判据的学习和应用中，应注意一些方法和技巧，明确其中的误区，下面为大家详细介绍。
关键词 高阶系统;稳定性;简化;误区
1 劳斯表[1]（见参考文献）
熟记并编制劳斯表是学好劳斯判据的第一步，但是大家会发现劳斯表看起来比较烦琐，如果采用死记硬背的方式难免会产生疏漏并且容易遗忘，所以请记好以下口诀，这样便能熟练的记住劳斯表。
劳斯表口诀
阶数由高写到低，将其放在最外侧。
不能跳阶和漏写，最后一个是零阶。
系数均在前两行，顺序排布是关键。
最高系数放一一，隔山打牛填首行。
次高系数放二一，以此类推填次行。
三行以后要注意，上行首列做分母。
下左上右是一对，上左下右是一对。
两对相减做分子，注意顺序不能变。
【注解】一一：第一行第一列 二一：第二行第一列
隔山打牛：项的阶数每隔一个写出一项的系数
2 劳斯判据的应用
系统稳定的充分必要条件是劳斯表中第一列系数都大于零，否则系统不稳定，而且第一列系数符号改变的次数就是系统特征方程中正实部根的个数。在利用劳斯判据进行对系统的稳定性判断时，要做到“一观察、二计算、三替换、四构造”，这样才能稳快准的得出结论。
“一观察”
首先要观察系统的特征方程是否缺项、是否每项系数均为正数，当缺项时，这样的系统一定不稳定，当某项或者某几项系數为负时，这样的系统也一定不稳定。通过这两点即可快速判断出系统的不稳定性而不需要再列劳斯表。
例如：①D（s）=3s4+2s3+5s+3=0 ②D（s）=2s5+3s4-4s3+6s2-s+6=0
解析：①这个系统特征方程缺少s2，所以系统一定是不稳定的。②这个系统特征方程-4s3、-s两项的系数为负，所以系统也一定是不稳定的。倘若再用劳斯判据去大费周章的计算其是否稳定便有些南辕北辙了。
“二计算”
熟记口诀，准确的计算劳斯表，一直计算到第零阶，通过观察第一列系数符号改变的次数来判断系统是否稳定并得出不稳定根个数，但是在计算过程中又会遇到一些问题，这就要用到下面的“三替换”、“四构造”。
“三替换”
某行第一列元素为零而该行元素不全为零时，用一个很小的正数ε代替第一列的零元素参与计算，表格计算完成后再令ε→0，注意：含有ε的那个数也要最后再代值，不能直接代值参与计算下一行元素
例：已知系统特征方程D（s）=s3-4s+3=0，判定这个不稳定系统右半s平面中的极点个数。
解析：
列劳斯表：
由于劳斯表第一列系数（1、0、-∞、3）符号改变了两次（注意：从1到0未产生符号的改变），所以系统有两个根在右半s平面。
【误区】在计算d1时，有些同学直接将ε→0代入求出c1→-∞，并将c1→-∞直接代入到下一行，得出d1=（-3∞）/（-∞），导致无法求出最后一行的数值，违背了表格计算完成后再代值的要求。
“四构造”
某行元素全部为零时，利用上一行元素构成辅助方程，对辅助方程求导得到新的方程，用新的方程的系数代替该行的零元素继续计算。注意：构造辅助方程时，不要对方程进行化简，用原始方程进行求导。
例：已知系统特征方程D（s）=s5+3s4+12s3+20s2+35s+25=0，判定这个系统是否稳定。
解析：
列劳斯表：
画线部分出现全零行，通过构造以下辅助方程，并求导得出新的方程，用新方程系数（10、0）替代全零行。
辅助方程：
F（s）=5s2+25=0
F′（s）=10s=0
由于劳斯表第一列系数没有改变，所以系统临界稳定。
【误区】某些同学将以下辅助方程进行了化简并求导，违背了利用原始辅助方程求导的原则，导致全零行变为2、0。
辅助方程：
F（s）=5s2+25=0
s2+5=0
F′（s）=2s=0
3 结束语
对于劳斯判据的学习，牢记口诀是基础，运用分为四个步骤（一观察、二计算、三替换、四构造），完成表格后再令ε→0，构造辅助方程不能化简，认真仔细定能灵活掌握。
参考文献
[1] 卢京潮.自动控制原理（第2版）[M].西安：西北工业大学出版社，2009：78-79.
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