关于贝叶斯公式的课堂教学体会
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摘 要 贝叶斯公式是解决“由果溯因”问题的一种重要方法，它在日常生活中的应用非常广泛。因此，如何引导学生理解并掌握贝叶斯公式，学以致用，解决实际问题，一直是课堂教学的重点与难点。因此本文通过实际生活中的典型问题引出贝叶斯公式，然后解释公式的内涵并且通过追溯公式的来历来激发学生们的学习兴趣，最后通过具体的实例来说明贝叶斯公式的应用。通过生动有趣的例子贯穿课堂，使同学们在轻松愉快的环境中获取并熟练掌握数学知识，从而提高课堂的教学效果，有效的完成教学目标。
关键词 贝叶斯公式 由果溯因 教学效果 教学目标
中图分类号：G642 文献标识码：A
在现实生活中，人们经常会遇到已知结果寻找原因的问题。比如，在行政决策中，某个人死了，导致这个人死亡的原因可能是自杀、他杀、意外、疾病等等。那么，在这些原因当中哪一个才是最可能的原因呢？又比如，某一条河水受到了污染，导致河水污染的原因可能是生活污水、工业废水的排放，又或者说是农药、化肥、降水中污染物的流入，又或者说是其他的原因。那么这些原因当中哪一个才是最可能的原因呢？
上述问题虽然背景各不相同，但是从数学的角度来看，都是一回事。即在结果发生的条件下，去寻找各个原因概率的大小。即已知结果寻找原因，这正是贝叶斯公式所要表达的基本思想。下面通过具体的例子，引出贝叶斯公式。
1引例：疾病诊断
小明发烧了，医学常识告诉我们，导致一个人发烧的原因有很多。为简单起见，假设导致小明发烧的可能原因只有3个：（1）可能是得了普通感冒;（2）可能是得了肺炎;（3）可能是得了风疹。现在医生要诊断小明发烧是由哪种疾病所导致的？
这类问题在实际生活中尤为常见，它是典型的“已知结果寻找原因”的问题。那么，如何去解决呢？
分析：首先引入随机事件。设A=“小明发烧”这一事件，B1，B2，B3分别表示导致发烧的三个可能原因。如果要确定导致A发生的最可能原因，只需要计算出A事件发生的条件下，各个原因发生的可能性大小。也就是计算三个条件概率P（B1|A），P（B2|A），P（B3|A）。通过比较这三个概率，取值最大的所对应的原因就是最可能的原因。
下面以发烧的条件下他得普通感冒的概率（P（B1|A））的求法为例：
上述推导过程中运用了条件概率公式、乘法公式和全概率公式。从而得到发烧这一结果发生的条件下，它是由普通感冒这一原因引起的概率。
将所得到的式子一般化，假设导致A这一结果发生的所有可能原因有n个，即为B1，B2，…，Bn，那么该如何计算A发生的条件下A发生的概率呢（P（Bi|A））？
通过这种设问的方式，将特殊情况一般化，很自然地引出了贝叶斯公式。
2贝叶斯公式
设试验E的样本空间为，B1，B2，…，Bn，为的一个划分，A为E的事件，且，，则：
（1）
在（1）式中，A表示某一结果的发生，B1，B2，…，Bn，是一个完备事件组，它是导致A这一结果发生的所有可能的原因。
将贝叶斯公式中分母的和式展开来写，不难发现，分子恰好是分母中的第i项。而分母应用的是全概率公式，即全部原因的概率之和。那么，现在要求A这一结果发生的条件下，它是由第i个原因导致的可能性大小，自然是这一原因占所有原因的比例。
3贝叶斯公式的来历
贝叶斯公式的创始人是贝叶斯·托马斯，是名英国的牧师，是位业余的数学家。
在他去世的第二年，也就是1763年，有关贝叶斯公式的著作《机会问题的解法》才得以发表，但是当时这一结果并没有受到应有的重视，这是因为他在著作中显示的是：P（B|A）=P（AB）/P（A）。这只是乘法公式的一个变形。因为当时他已经去世了，人们并没有看出贝叶斯给出这个公式的初衷。
直到1774年，法国数学家拉普拉斯再一次总结了这一结果。从此，人们才意识到贝叶斯公式的重要性。
4贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式的应用非常广泛，在数据搜索、人工智能、产品检验、疾病诊断、安全监测教学分析等多方面都发挥着重要的作用。它不仅可以帮助人们寻找导致某一事件发生的最可能的原因;还可以通过后验概率来重新确认人们之前不确定的事情，从而对事情进行新的认识。下面通过具体的例子来说明贝叶斯公式在实际中的应用。
例1：设1，2，3三台车床加工同一种零件，加工出来的零件混放在一起。已知三台车床加工的零件分别占全部的45%，35%和20%，三台车床的次品率依次为4%，2%和5%。现在从全部零件中任取一件，发现是次品，问该零件是由哪台车床加工的可能性最大？
分析：发现一个零件是次品表示结果，而导致这一结果发生的原因有三个：即第一臺车床加工的零件，第二台车床加工的零件，第三台车床加工的零件。哪一台车床加工的可能性最大呢？这是已知结果寻找原因，可以利用贝叶斯公式去求解。
解：设全部加工的零件构成样本空间，A表示：“发现一件次品”，Bi表示：“所取零件是由第i台车床加工的”（i=1，2，3）。由题意可知：
现在要求A发生的条件下Bi发生的概率：
由贝叶斯公式可得：
因为P（B1|A）已经大于0.5了，另外两个原因的概率不可能超过0.5。因此该零件是由第一台车床加工的可能性最大。
例2：贝叶斯公式在教学分析中的应用。
假设某天老师讲完一个重要的知识点后，做了个课堂检测。老师请小明做了一道有4个选项的单项选择题。对做选择题，我们做这样一个假设：如果掌握知识点了，一定能做对;而没有掌握知识点，也可能猜对。即不考虑掌握知识点，但粗心算错或写错答案的可能。
做之前老师估计小明掌握知识点的可能性是20%。做完之后，老师一看，小明做对了。老师挺满意的，但忍不免担忧，小明是否是猜对的呀？于是老师请小明又做了一道相同知识点的选择题。小明又做对了，这个时候老师认为他掌握的可能性还是比较大的。那么，应该如何解释老师态度的逐步转变呢？ 解：将“做对题”这一事件记为A，“掌握知识点”记为B，“没有掌握知识点”记为。则由题意可知：
。
（1）小明做第一道选择题时，，
小明做对题的条件下，掌握知识点的概率是0.5。显然比0.2高，但就概率意义而言，0.5的值也不算大。所以小明做对题老师是满意的，但是忍不免担心，他是否是猜对的呀？
（2）对于小明做第二道选择题，思路是一样的。只是这里小明掌握知识点的概率，就是B的概率要看成0.5了（即P（B）=0.5）。用同样的方法可得：
小明做对第二题的条件下掌握知识点的概率是0.8。这个概率值相对比较大了，所以老师认为小明应该掌握知识点了。
在这里出现了两个B事件的概率。一个是结果发生前的无条件概率，称为先验概率;另一个是结果发生之后的条件概率，称为后验概率。也就是说在增加了结果发生这个新信息后，对原因概率的重新认识。所以贝叶斯公式的作用也可以说成是由先验概率得到后验概率，再由后者去修正前者。比如，小明第一次做对题后，老师就是用后验概率0.5对先验概率0.2做了修正。第二次做对题，P（B）=0.5为先验概率，P（B|A）=0.8为后验概率。老师第二次态度的改观，就是用后验概率0.8对先验概率0.5做了修正。
从0.2到0.5，再到0.8，数据很直观地反映了老师态度的转变过程。虽然在实际中，老师并非通过计算来完成这种修正，但道理是相同的。所以拉普拉斯曾经说过，概率论只不过是把常识用数学公式表达出来。
5结束语
本文首先通过现实生活中尤为常见的例子——疾病诊断，引出贝叶斯公式，将特情况一般化，很自然地得到贝叶斯公式;然后介绍了贝叶斯公式的内涵和来历，以激发学生们的学习兴趣;最后通过具体的实例来说明贝叶斯公式的作用。通过这种循序漸进的教学方式，帮助同学们深入理解和灵活运用贝叶斯公式，从而有效地提高教学质量、完成教学目标。
作者简介：李益清，（1978—），女，汉族，新疆奇台人，研究生学历，讲师，主要从事能源经济的研究。
参考文献
[1] 上海交通大学数学系.概率论与数量统计[M].北京：科学出版社，2018.
[2] 朱翼隽.概率论与数量统计[M].镇江：江苏大学出版社，2015.
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