欧氏空间正交分解的一个应用

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　　摘 要 内积空间是高等代数里最优美的理论之一，它把几何、代数、分析熔于一炉。本文讨论欧氏空间的正交分解的一个应用，即对有限维欧氏空间规范正交基的存在性给出了一个較为自然的证明，从而使得初学者较好掌握施密特正交化方法。
　　关键词 欧氏空间 规范正交基 正交补
　　中图分类号：TN911 文献标识码：A
　　1基本定义与命题
　　内积空间是高等代数里最优美的理论之一，它把几何、代数、分析熔于一炉。大部分高等代数教材只处理了内积空间理论的有限维部分，但对于这一相对较为简单部分的理解，不仅对于完成高等代数的学习是必要的，而且也为将来学习更深入的内积空间理论打下坚实的基础。
　　有限维欧氏空间规范正交基的存在性定理，在欧氏空间理论中具有基本的重要性。因此，施密特正交化方法也是重要的方法。但有的高等代数教材介绍施密特正交化方法时，处理的方法不够自然，使得学生在理解和掌握施密特正交化方法时存在一定的困难。本文使用欧氏空间的正交分解，对有限维欧氏空间规范正交基的存在性给出了一个较为自然的证明，从而使得初学者较好掌握施密特正交化方法。
　　本文只讨论有限维欧氏空间。
　　2基本定义与命题
　　定义1：欧氏空间两两正交的非零向量的向量组称为正交组.仅由一个非零向量组成的向量组也说是正交的。
　　若正交组中的每个向量都是单位向量，则该正交组称为规范正交组。
　　欧氏空间的由正交组构成的基称为的正交基。由规范正交组构成的基称为的规范正交基。
　　性质2：设是欧氏空间的规范正交基，则
　　定理3（正交分解）：设是欧氏空间的有限维子空间，则。
　　3正交分解的一个应用
　　定理4：设是欧氏空间的线性无关的向量，则可从出发作出正交组，且，
　　教材介绍该定理的证明时，都是直接使用施密特正交化方法给出新的向量组，并验证满足要求，并没有解释为什么此方法从何而来，使得学生在理解和掌握施密特正交化方法时存在一定的困难。我们从欧氏空间的正交分解定理出发，给出了如下较为自然和简洁的证明，从而使得初学者较好地理解和掌握施密特正交化方法。
　　定理4的证明 （归纳法）当时，因为只含一个非零向量的向量组也是正交组，令即可。
　　假设当时，结论成立，即从可从出发作出正交组
　　当时，令则由定理3知， 令其中。则是正交组。这时，由性质2有
　　注意到，从而有
　　
　　因此，
　　容易验证 证毕。
　　设是欧氏空间的基，则可从出发作出正交组，再正交化。从而说明欧氏空间存在规范正交基。
　　 基金项目：本文得到大学生创新创业训练项目（201910602068）的支持。
　　参考文献
　　[1] 易中.高等代数与解析几何（下册）[M].北京：清华出版社，2007.
　　[2] 张贤科，许甫华.高等代数学[M].北京：清华出版社，2004.
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