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关于二阶导数的级数敛散性问题

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   [摘           要]  级数敛散性的判定是数学分析课程中的重要内容和教学难点,通过实例讨论函数满足二阶导数且通项中带f()形式的一类级数的敛散性判定.
   [关    键   词]  二阶导数;级数;敛散性
   [中图分类号]  G642                       [文献标志码]  A                [文章编号]  2096-0603(2019)34-0026-02
   一、定理及推论
   本文主要讨论满足二阶导数的级数敛散性判定,重点分析通项中带f()的敛散性判定.
   定理(二阶导数判定定理) 设函数f(x)在x=0处具有二阶导数,则级数f()收敛的充要条件是f(0)=f'(0)=0.
   证明(必要性)假设函数f(x)在x=0处具有二阶导数,且级数f()收敛.因为函数f(x)在x=0处具有二阶导数,则f(x)在x=0的领域内是连续的,则由级数收敛的必要条件,f()=0=f(0),又f'(0)==,假如极限值为非零的实数,即f'(0)≠0,则由级数的极限审敛法,级数f()发散,同假设矛盾,所以f'(0)=0.
   (充分性)设f(0)=f'(0)=0成立,因为函数f(x)在x=0处具有二阶导数,则由Taylor展开式
   f()=f(0)+f'(0)(-0)+(-0)2+0(),
   故f()=f'(0)+0(),故f()-f''(0),n→∞,故f()收敛.
   我们也可将这个结论做一定的推广:
   推论 设f(x)在R上具有直到n+1阶导数且f'(x)≠0,则级数[f()-f(0)]发散,[f()-f(0)-f'(0)].
   二、相关应用
   有了这个定理,在证明通项为f()形式的级数敛散性的结论时可以考虑直接利用定理的结论.例如以下类型的题目:
   例1 (1)(arcsin-);(2)[+lnn-ln(n+1)];
   解:(1)不难观察,级数的通项中为f()形式,其中f()=arcsin-,f(x)=arcsinx-x,f'(x)=-1,.函数f(x)在x=0处具有二阶导数,且f(0)=f'(0)=0,由二阶导数判定定理可证,级数收敛.
   (2)通过简单的化简,可以将级数的通项化成f()形式,其中f()=+lnn-ln(n+1)=+ln,f(x)=x-ln(1+x),f'(x)=1-,f''(x)=,故函数f(x)在x=0处具有二阶导数,且f(0)=f'(0)=0,由二阶导数判定定理,知级数收敛.
   读者也可自行利用二阶导数判定级数的敛散性定理证级数(-1)n(1+-]及的敛散性.
   在一些考研和竞赛题中,也经常会出现此类题目,但是需要给出完整的证明,我们可以借助证明定理的方法来证明此类题目.
   例2 设函数f(x)在x=0处具有二阶连续导数,且有=0,证明级数收敛且f()绝对收敛.
   证明 因为=0,故f(x)=0=f(0),且f'(0)==0,将函数f(x)在x=0处二阶泰勒展开,为f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+(x-0)2+0(x2).
   故f()=f'(0)+0(),有-f''(0),f()-f''(0),n→∞,则收敛且f()绝对收敛.
   例3 设函数f(x)二阶可导,且有f''(0)>0和=0,求级数f()xn的收敛域.
   解:令an=f(),类似例2的证明,可知f(0)=0,
  f'(0)=0,于是=====.
   注 若无条件“函数f(x)在x=0处具有二阶连续导数”,则结论不成立。反例:f(x)=.
   因为函数f(x)在x=0处不具有二阶连续导数,且
   f()==,
   又≥>,故发散.
   在一些题目中,虽然通项中能建立y()的表达式,但是给出的条件并不能满足二阶导数判定定理的条件,这时候需要进一步分析给出的条件,挖掘其中蕴含的条件,利用证明定理的方法类似去证明.
   例4 已知函数y=y(x)满足等式y'=x+y,且y(0)=1,讨论级数[y()-1-]的敛散性.
   解:因为y'=x+y,所以y''=1+y'.由y(0)=1得y'(0)=1,y''(0)=2,由函数y=y(x)的二阶Taylor展开式
   y()=y(0)+y'(0)++0(),
   知y()-1-在当n→∞时与等价.因级数收敛,故原级数必收敛,且是绝对收敛.
   题设条件蕴含y'(0)=1,y''(0)=2,从而可将函数y=y(x)在x=0处展开成二阶Taylor展开式,建立y()的表达式.
   参考文献:
   [1]华东师范大学数学系.数学分析(下)[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.
   [2]陈兆斗,黄光东,赵琳琳,等.大学生数学竞赛习题精讲[M].北京:清华大学出版社,2015.
   [3]同濟大学数学系.高等数学(下)(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.
  ◎编辑 冯永霞
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