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关于正项级数敛散性判定方法的总结比较

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  摘 要:本文将对正项级数的敛散性问题进行研究,引入常用的比较判别法和比值判别法,而后再给出相应的级数作为比较尺度后,得到了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法,并给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。在采用更加精细的级数作为比较尺度后,引出了拉贝尔判别法,并对上述的几种方法进行了总结和分析。
  关键词:正项级数 敛散性 达朗贝尔判别法 柯西根式判别法 拉贝尔判别法
  引言
  随着正负无穷的引入,人们对于数字的理解不再拘泥于传统意义上的有限数字。此时,关于一列已知序列求和的敛散性问题便应运而生。如何判断一列序列求和是有限的还是发散的,成为数学分析中的一个重要问题,受到了很多的关注和研究,产生了诸如比较判别法、达朗贝尔判别法和柯西根式判别法等等。本文将对目前常用的一些判定方法进行归纳,并对它们的适用性和局限性进行分析。
  一、比较判别法、比值判别法及达朗贝尔判别法
  我们在本节中将介绍三种常用的判别方法——比较判别法、比值判别法和达朗贝尔判别法,在引入序列的上下极限以后,给出极限形式和上下极限形式下的达朗贝尔判别法,从而使得达朗贝尔判别法得到很好的总结和完善。而后改变比较级数的尺度,对达朗贝尔判别法进行推广,引入拉贝尔判别法,使得比较变得更加的精细和准确[1]。
  1.比较判别法和比值判别法
  当我们遇到一个未知的序列以后,我们可以将它与已知的收敛或者发散的序列进行比较,进而来判断它的敛散性,从而诞生了比较判别法和比值判别法。为了下文的行文的简单性,我们用符号来表示[2]。
  定理1(比较判别法)假设级数和均为正项级数,那么我们有:
  (1)如果收敛且存在和,使得,,那么也收敛;
  (2)如果发散且存在和,使得,,那么也发散。
  为了方便使用,我们这里引入极限形式的比值判别法.
  推论1设级数和均为正项级数
  令则有:
  (1)如果收斂,且,那么也收敛;
  (2)如果发散,且,那么也发散。
  同样的,对于严格的正项级数我们可以得到如下的比值判别法.
  定理2(比值判别法)假设级数和都是严格的正项级数,那么我们有:
  (1)如果收敛,且存在,使得,,
  那么也收敛;(2)如果发散,且存在,
  使得 ,,那么也发散。
  2.达朗贝尔判别法
  在得到了比值判别法以后,如何选取正项级数作为比较的标准,便成了一个重要的问题。如果选用的级数过于宽松,那么可能无法很好地判定级数的敛散性,而如果选用的级数过于精细,那么无疑会增加计算的难度和复杂性.在这里,我们首先采用等比级数作为比较尺度引入达朗贝尔判别法,并给出相应的极限形式和上下极限形式的达朗贝尔判别法,而后对所用的判定级数进行精细,采用级数作为比较尺度得出拉贝尔判别法。
  定理3(达朗贝尔判别法) 设是严格的正项级数,那么我
  们有:
  (1)如果存在和,使得,,那么收敛;
  (2)如果存在,使得 ,,那么发散。
  下面我们给出相应的极限形式和上下极限形式的达朗贝尔判
  别法[3]。
  推论2(极限形式) 假设是严格的正项级数,
  且存在极限
  那么我们有:
  (1)如果,那么收敛;
  (2)如果,那么发散。
  推论3(上下极限形式) 假设是严格的正项级数,那么如果,那么收敛;(2)如果,那么发散。
  我们可以发现,当极限或者上下极限的值为1的时候,达朗贝尔判别法就会失去判别能力。这个时候,我们就应该换用一个更加精细的级数来作为比较尺度。于是,在采用级数作为比较尺度以后,我们可以得到更加精细的判定方法,也就是拉贝尔判别法。
  定理4(拉贝尔判别法) 假设是严格的正项级数,那么我
  们有:
  (1)如果存在和
  使得,,那么收敛;
  (2)如果存在
  使得,,那么发散。
  二、柯西根式判别法
  我们在本节中将引入另外一种常用的判别方法——柯西判别方法,这个方法在判定正项级数的敛散性方面有着重要的作用。
  定理5(柯西根式判别方法) 假设是正项级数,那么我们有:
  (1)如果存在和,使得,,那么收敛;
  (2)如果对于无穷多个,有,那么发散。
  在实际的应用中,我们会发现极限形式的柯西根式判别法会更实用一些,于是我们引入极限形式的柯西根式判别法。
  推论4(极限形式)
  假设是正项级数,且存在极限,那么我们有:(1)如果,那么收敛;(2)如果,那么级数
  发散。
  在引入上极限以后,我们可以得到相应的上极限形式的柯西根式判别法。
  推论5(上极限形式) 假设是正项级数,并有,那么我们有
  (1)如果,那么收敛;(2)如果,那么发散。
  三、总结与展望
  本文从数学分析中的一个重要问题——正项级数的敛散性问题出发,首先引入了常用的两种判别方法——比较判别法和比值判别法,将想要判定的级数与已知敛散性的级数之间建立起关系。而后,在选取了相应的级数作为判定尺度后,引出了相应的达朗贝尔判别法和柯西根式判别法,并分别给出了相应的极限形式和上下极限形式的版本。为了解决达朗贝尔判别方法中出现的当无法进行判定的问题,将判定的尺度作了进一步的细化,引出了拉贝尔判别方法,使得判定级数敛散性问题得到了更好的解决。但对于某些特殊的级数,仍然会出现现有的几种方法无法解决的问题,需要采用更加精细的尺度,就具体问题进行分析。在以后的研究中,也将就用来作为判定尺度的级数进行更深层次的挖掘。
  参考文献
  [1]张筑生.数学分析新讲.第二册[M].1990.
  [2]张筑生.数学分析新讲.第三册[M].1990.
  [3]朱江红,高红亚.几种正项级数敛散性判别法的强弱性比较[J].沧州师范学院学报,2004,20(2):37-39.
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