浅议导数的应用
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作者: 薛爱梅
摘要:导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。应用导数刻画函数比初等方法更精确细微,而解决实际问题应用导数则更简便。本文通过几个例子来介绍导数在求曲线的切线、不等式的证明、函数单调性的讨论、求函数最值等方面的应用。
Abstract:The derivative is the calculus rudimentary knowledge, is studies the function, the solution actual problem powerful tool. The application derivative portray function is more precise than the primary method slightly, but solves the actual problem application derivative to be simpler. This article through several examples introduced that the derivative is asking the curve the tangent, the inequality proof, the function monotonous discussion, to ask aspect and so on function most value applications.
关键词:导数 应用 举例
Key words:The derivative application gives an example
【中图分类号】G712 【文献标识码】A【文章编号】1004-7069(2009)-09-0156-01
一. 利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率
函数y=f(x)在点的导数 表示曲线y=f(x)在点 处切线的斜率,这就是导数的几何意义。我们通过例题看一下,如何利用导数的几何意义求光滑曲线切线的斜率。
例题1 求曲线y=x2在点(1,1)处切线的方程。
解:由导函数定义
应用点斜式方程,可得曲线在(1,1)处的切线方程:y-1=2(x-1)
即2x-y-1=0 .
二. 利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等。
导数的物理意义没有统一的解释,对于不同的物理量,导数有不同的物理意义。例如,变速直线运动路程函数S对时间t的导数 就是瞬时速度;瞬时速度V对时间t的导数 就是加速度;通过导体某截面的电量Q对时间t的导数 就是电流强度。下面我们看一个具体的例题。
例题2 已知物体的运动规律为s=t3(米) ,求这个物体在t=2秒时的速度。
解:有导函数的定义
有运动物体运动路程对时间的物理意义可知
将t=2,带入上式,得
三. 利用导数的符号判别函数在某一区间的单调性及利用导数证明不等式
导数是对函数的图像与性质的总结与拓展,导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要工具,广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面。具体例题如下:
例题3 讨论函数 的单调性。
解: ,当x>0时, >0 ;当x<0时, <0 .函数的定义域为 ,因为在 内 <0,所以函数 在 上单调减少;因为在 内 >0,所以函数 在 上单调增加。
例题4 证明当x>0时,
解:设 则 , 在x=0时为零,在 内均大于零,故函数 在 上单调增加,对于任何x>0,有 .即
所以
四. 利用导数研究函数的极值
根据导数在驻点两侧的符号,可以判断函数在该驻点是极大值还是极小值。需要注意的是极值点可能是驻点,也可能是导数不存在的点。下面我们看一个有驻点求极值的例题:
例题5 求函数 的极值 .
解:这个函数的定义域为
令 =0,求得驻点
在 内, >0 ;在(1,3)内, <0;在 内, >0.由此可知,
五. 利用导数研究函数函数的最大值和最小值。
人们做任何事情,小到日常用具的制作,大至生产科研和各类经营活动,都要讲究效率,考虑怎样以最小的投入得到最大的产出,这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题。
例6、把长度为16cm的线段分成两段,各围成一个正方形,它们的面积之和的最小值为多少?
解:设一段长为xcm,则另一段长(16-x)cm.
∴面积和
∴S′= -2,令S′=0有x=8.
在 内, <0 ;在(8,16)内, >0 .
∴当x=8时,S有最小值8cm2.
参考文献:
[1]高永新全国高级职业学校公共课教材中国就业培训技术指导中心2006年3月
[2] 郭峰应用数学劳动和社会保障部教材办公室2005年
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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