工科大学中数学课程教学方法的思考
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[摘 要] 在当前教育改革背景下，很多本科高等院校尤其是工科类高校朝着应用型高等院校转型，这对大学数学基础类课程的教学改革是一个不小的挑战。基于在南京邮电大学本科生概率统计和随机过程教学中的教学实践，提出一些工科高校中数学类课程的教学思考。
[关 键 词] 工科数学;教学方法;应用型人才
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）34-0020-02
一、工科数学教学方法研究背景
随着经济社会的发展，对高等教育人才的需求逐渐偏向应用型人才。近年来，我国高等教育体系的规模也在逐渐完善，很多大学也在向应用型本科高校过渡，在这个背景之下，高等学校课程教学内容和方法都进行了一定程度的改革，其中，数学类课程（包括高等数学、工科数学分析、线性代数、概率统计和随机过程等）作为本科生特别是工科学生的专业基础课起着举足轻重的作用，对工科生无论是后续专业课的学习还是研究生入学考试都很关键。这就要求普通高校在数学课程教学改革中要谨慎前行。
笔者所在的南京邮电大学是典型的一所以电子信息为特色的多学科协调发展的高校，在校本科生多数为工科生，数学类课程教学中出现的问题主要体现在教学内容的理论性比较强，数学概念相对比较抽象，而课程学时又较短，学生不能很好地将理论与实际问题结合起来理解等方面。笔者是南京邮电大学理学院教师，承担着二年级“概率统计和随机过程”课程的讲授，这门课共十一章内容，只有六十四学时，其中随机过程部分的内容所占比例较少，但是对一些工科专业的学生后面的专业课学习起着重要的作用。如何能够让学生在短短几周的教学课时内将这门课的基本概念和基本理论理解清楚并且能够应用去解决一些具体问题以便为后续专业课打下基础是这门课开设的目的。本文将以随机过程中的一些教学实例结合作者的教学实践，从教学内容和教学方法等方面谈谈笔者对工科数学教学的几点思考。
二、工科数学教学方法思考探索
（一）概念的引入要通俗易懂
我们都知道，数学中的概念通常很抽象，如果在授课中将概念生硬地展示给学生，而不加以通俗地阐述和解释，学生在第一次看到时经常会感到有些困惑难以理解。而数学中的概念又是一切数学知识体系的基石，如果概念理解不清楚，后面的学习效果也就无从谈起，所以如何让学生快速而准确地掌握概念的本质显得尤为重要，这就要求教师在讲授概念时要通俗易懂，最好能与学过的知识联系起来。如“随机过程”这个定义：设E是随机实验，S是样本空间，对于样本空间中每一个样本点e总有一个二元函数X（e，t），t∈T与之相对应，这样得到的一组函数{X（e，t），t∈T}叫作随机过程。可以看到这个定义与学生已经非常熟悉的随机变量的定义非常相似，所以教师在授课时应当将两个概念联系起来对比来讲，告诉学生随机过程就是随机变量中加入了时间变量，由一元函数变为二元函数，这是这个概念的实质。另外，可以通过举例来强化对概念的理解，举的例子最好是学生见过的实例。如可以举前面概率论中经常见到的抛硬币的例子，将一枚硬币由下而上抛出，我们把硬币从抛出到落下这个过程中每一个时刻硬币的状态记录下来就得到一个随机过程。再以马尔可夫链的定义为例：若随机过程{Xn，n≥0}在m+k（k>0）时刻处在任一状态j∈I的概率只与该过程在时刻所处的状态有关，而与过程在时刻以前的状态无关，即满足：
P{Xm+k=j|X0=0，X1=1，…，Xm-1=i-1，Xm=i}=P{Xm+k=j|Xm=i}.
称随机过程{Xn，n≥0}为马尔可夫链，简称马氏链。从定义可以看出，马尔可夫链在时刻t（>t0）所处的状态仅与时刻t0所处的状态有关，而与t0之前的状态无关，马尔可夫链这个特性也称之为无后效性。为了让学生更好地理解这个定义，举例来说，一个人进入电梯后，他即将到达的楼层位置只与当前楼层有关，而与这个电梯从几层而来的无关。这样引入这个定义可以帮助学生通俗易懂地理解马尔可夫链的概念和特性。可以看出，将抽象的数学概念具体化、形象化、通俗化应当是教师在备课中重视的一个问题。
（二）抓住教学内容的本质，因“才”施教
南京邮电大学的授课对象绝大多数是工科生而不是數学专业的学生，在大一、大二年级所学的数学类基础课程主要是为后续专业课程打基础，能成为专业课学习的有力工具，因此如果在数学课程教学中太强调定理的证明而忽视了定理本身的应用容易导致学生对这门课失去学习兴趣，而且达不到学以致用的学习效果。如在马尔可夫链学习中，经常会遇到求一个马氏链的绝对概率和绝对分布的问题，这类问题的求法实际上在教材中已经以定理形式给出，如果在授课中按照常规的先讲定理，接着讲证明，然后让学生记住结论直接去用，就会导致定理本身和它的应用割裂开来，为了应用而应用，而忽视了定理本身的作用。如以下例子：
已知马尔可夫链的状态空间为I={0，1，2}，初始分布为（1/3 1/3 1/3），一步转移概率矩阵为P=3/4 1/4 01/4 1/2 1/4 0 3/4 1/4，计算（1）P（X2=1）;（2）P{X1=0，X3=1，X4=2}.
我们的解决办法不是让学生记住定理结论直接去套公式，而是教学生从解决问题的角度出发，注意到我们实际上是在想办法求一个概率。对于第一问，是在求一个绝对概率，我们要提醒学生联系第一章中的知识——全概率公式来求，即“由因导果”： 解：由C-K方程我们可以直接求出两步转移概率矩阵：
P（2）=P2（1）=10/16 5/16 1/16 5/16 8/16 3/16 3/16 9/16 4/16，
P（X2=1）=P（X0=j）P（X2=1|X0=j）
=Pj（0）Pj1（2）
=1/3×5/16+1/3×8/16+1/3×/16=11/24.
可以看到，我们解题的过程实质上就是教材上定理证明的过程，如果只让学生生硬地去记定理、背公式，直接从P（X2-1）=Pj（0）Pj1（2）计算，很容易出错，而且学完很快就会遗忘。但是如果教会学生学会分析问题的实质，将所学知识前后联系起来，利用全概率公式去求，一方面达到了解题的目的，另一方面也让学生理解了教材上定理的证明方法，从而更好地掌握其应用。同样，在求第二问时，我们看到如果设事件A：X1=0，事件B：X3=1，事件C：X4=2，那么求这个绝对分布相当于在求三个事件乘积的概率，我们自然而然联想到第一章学过的乘法公式。通过这个教学实例说明教师教学中应当根据不同的教学对象灵活地制定相应的教学方法，对工科学生不应该过分强调数学定理的证明而忽视了定理的应用，应该教会学生从问题本身出发去分析和解决。
（三）注意数学思想的渗透
在工科数学教学中，在课时少的现实压力下，很多时候教师容易“急功近利”，强调“方法论”，想通过找一条捷径让学生会做很多题来提高学生在期末考试中的通过率，而忽视了把数学思想放到日常教学中，培养学生的思维能力，导致最终没有达到举一反三的学习效果。事实上，数学思想贯穿数学课程教学始终这一理念在很早就被提出，并且提倡从中小学数学教育开始，如我们熟知的“数形结合”思想、“递归”思想、“函数”思想等。如果在高等教育数学课程教学中丢弃了这一原则，一味强调应用而忽视了数学理论本身和学生逻辑思維能力的培养，那么最终培养出的“高素质应用型高等教育人才”就会成为一个徒有外表的空壳子。还是以随机过程这个定义为例，对样本空间中的每一个样本点都有一个时间函数与之相对应，在课堂教学中给出学生教材中的定义时就要指出这里就用到了数学中“函数”的思想。
（四）明确培养专业人才，将专业特色贯穿于教学中
南京邮电大学是一所以电子信息为特色的工科高校，尤其当前国家正在积极推进“互联网+”的行动计划，这为学校科学快速的发展提供了广阔的发展空间。学校层面应当把专业课程、实验课程的教学内容整合为一个体系，让学生在整个专业学习中前后连成一个知识链;作为高校数学课程的教师在课堂教学活动中应该有意识地将教学内容与学校的特色学科背景相结合，与学生所学专业相结合来教学。如在讲授马尔可夫链的一些概念这节课中，可以举这样的例子：传输数字0和1的通信系统，每个数字的传输都需要经过若干步，那么这样一个通信系统就可以看作是一个马尔可夫链。在数理统计部分教学中，也可以社会热点问题为背景放到例题中讲解，这样既激发了学生的学习兴趣，又可以培养学生应用数学知识去分析、解决实际问题的能力，更为学生后续的专业知识学习搭建了一座桥梁。从长远来看，将专业特色贯穿到教学中也有利于后续高校对接地方企业、产业的需求，增强高校和地方政府以及企业的合作，提升高校科研攻关水平从而实现高校产学研的协调发展。
总之，以工科为特色的高校中数学类课程的教学改革是一项长期且艰巨的任务，需要有关教育部门和各高校制定相关政策，需要高校教师在教学实践中不断改进已有教学模式和探索新的教学方法，需要学生与教师的全面配合，这对高学历应用型人才的培养有着长远的意义。
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◎编辑 冯永霞
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