基于层次分析法和动态规划的证券投资基金组合选择的决策方法

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　　摘要：文章研究了一种综合层次分析法（AHP）和动态规划的决策方法在证券基金组合选择上的应用，成功解决了多个基金的资金分配问题，并给出了应用实例。
　　关键词：基金组合；AHP；动态规划
　　
　　一、引言
　　
　　基金的投资理念就是以最小的风险获得最大的收益。因此，对任何一种基金而言，其优劣最终反映在收益与风险的大小上，即如何在其间求得最佳平衡，影响收益率和风险的因素可从四方面考虑，即政策因素、利率因素、市场因素和企业因素，可将它们作为标准层；最后，不同的基金组合构成这个结构的方案层。
　　因此，采用科学的基金组合决策方法，对于投资基金理财有着非常重要的作用。本文以投资者的角度，综合考虑定性与定量的因素，建立了一种结合层次分析法（AHP）和动态规划的决策方法。
　　
　　二、决策方法的选择
　　
　　基金组合选择的影响因素既有定性的也有定量的，AHP以其定性与定量相结合的特点而成为目前广泛采用的方法。但是，单纯采用AHP方法并不能完全解决基金组合选择的问题。因为使用该方法的最终目标或是最后形成的结果是从多个构成各异的基金中筛选出一个相对最优的基金作为投资对象。但是，在实际中这种选择是有很大缺陷的，主要基于以下两个原因：
　　第一，只选择一种基金作为投资对象是有很大风险的，即使从理论上讲，这支基金在当前形势下可能是综合能力最优的基金。证券市场往往是不可预知的，即使是最好的基金也有可能由于一系列的原因而不能达到最好的投资理财效果。而且在当前的情况下，该基金可能是最优的，但过了一段时间，它可能就不是了。
　　第二，基民应避免将鸡蛋放在同一个篮子里，尽量选择含有多家基金的投资组合，以有效分散风险。做投资组合并不是购买的基金多了就是在做组合。做基金投资组合也需要适当控制投资基金的数量。进行投资组合时，基金的数量太少容易造成投资组合的剧烈波动，影响收益的稳定性，无法有效地分散风险；基金的数量太多，则无法提高分散风险的效率，基金组合的安全性并不会因基金数量的增加而增加。
　　因此，基金的购买数量应该适量，就我国的实际情况而言，投资者购买的基金数量应控制在5支以内。根据市场的行情确定各类基金的合理比例，对于组合中的基金的挑选应尽量避免选择同一家基金公司甚至同一个基金经理管理的基金，尽量避免选择相同类型、风格的基金和相同操作理念的基金。这就要求所采用的决策方法不仅能对备选的各支基金进行综合评价，而且，要能够对最终选择的多支基金进行合理的资金分配。所以，本文就运用了AHP与动态规划相结合的决策方法来解决基金组合的选择问题。
　　
　　三、决策方法介绍
　　
　　第一步，运用AHP方法确定基金权重。
　　首先，投资者根据基金组合选择的子目标和备选基金的情况建立层次结构模型，一般为3层，即目标层A，标准层C（包括k个准则）和决策方案层P（包括n个方案）。
　　其次，确定各层因素之间两两比较的判断矩阵。为了使各个标准，或在某一标准下各方案两两比较以求得其相对权重，判断矩阵利用运筹学家Saaty提出的1-9标度方法来标度。
　　再次，计算一致性指标C.I。若C.I＜0.1，则矩阵满足一致性要求；否则，重新建立矩阵。
　　最后，进行组合权重计算，并求出各方案的优劣次序。
　　目标层A对标准层C的相对权重为：w（1）=（w1（1），w2（1），…，wk（1））T。
　　标准层的各准则Ci，对决策方案层P中n个方案的相对权重为：w（2）＝（w1l（2），w2l（2），…，wnl（2））Tl＝1，2，…，k。
　　那么各方案对目标而言，其相对权重可以通过权重w（1）与wl（2）（l＝1，2，…，k）组合而得到vi= wj（1）wij（2）（i＝1，2，…，n）。这样，便计算出每个备选基金的权重，权重最大者为最优。
　　第二步，利用动态规划法进行资金分配（假设要从n个基金中选择m个作为投资对象）。首先，从n个备选基金中选择权重得分最高的m个基金并建立动态规划模型maxZ= ui（xi） xi=axi≥0i=1，2，…，m，其中，Z为投资基金获得的收益，a为资金总量；xi为第i支基金的资金分配量；ui（xi）为价值函数。
　　运用动态规划法来处理该问题时，把对于每支基金的资金分配过程作为一个阶段，把问题中的变量xi作为决策变量，将随递推过程变化的量选为状态变量。
　　设状态变量Sk表示从第k到第m支基金的总分配量。
　　状态变量uk表示从第k支基金的分配量，即uk=xk。
　　状态转移方程：sk+1=sk-uk=sk-xk。
　　允许决策集合：Dk（sk）={uk|0≤uk=xk≤sk}，
　　令最优值函数fk（sk）表示从从第k到第m支基金资金分配两为Sk时的最大收益。因而可写出动态规划的递推关系式为：fk（sk）= {uk（xk）+fk+1（sk-xk）}fm（sm）＝ um（xm）k=m-1，…，1；利用这个递推关系式进行逐段计算，最后求得f1（a）即为最大收益，此时对应xi（i＝1，2，…，m）的即为从1到m支基金的分配资金量。
　　
　　四、应用实例
　　
　　本文以某投资者选择合适的基金理财为例来演示基金组合选择的整个流程。该投资者欲从3个备选基金中挑选2个，总投资金额为100万。在这里仅为提供一种思路，方便起见，把基金的构成尽量简化，因此，我们设定3支备选基金1、2、3的构成如表1所示：
　　
　　第一，确定基金评价指标。假设备选基金有P1、P2、P3，标准有4个：政策因素C1、利率因素C2、市场因素C3和企业因素C4。
　　第二，投资者根据各支基金的长期效益分析，运用标度方法给出标准C1-C4的两两标度判断矩阵A，并计算出相应的的各个标准的权重wi（i=1，2，3，4）和一致性指标C.I（其中，λmax为矩阵的最大特征值）。
　　标准C1-C4两两判断矩阵如表2所示：
　　
　　λmax=4.067
　　C.I=（4.067-4）/3=0.022＜0.1，C.I小于0.1，所以矩阵满足一致性要求，判断结果有效。
　　由表2可知，在现阶段，首先政策因素的影响最大，其次是市场因素，再次是利率因素，最后是企业因素，说明市场经济还是处在国家的宏观调控之下。
　　第三，由专家给出P1-P33个备选基金相对于同一标准Ci（i=1，2，3，4）的判断矩阵，并计算出权重。
　　在政策因素下，判断矩阵如表3所示：
　　
　　λmax=3.142
　　C.I.=（3.142-3）/2=0.071＜0.1
　　说明：在国家经过宏观调控后，经济正逐渐复苏，股市前景看好，风险资产（股票）比例较高的组合将有可能带来更高的收益，因此基金P3（90%股票持有率）最优。
　　同理，在利率因素下，可求得：λmax=3.093，C.I=（3.093-3）/2=0.047＜0.1。
　　由此可知，目前，虽然利率处于历史低位，但仍有下调的空间，货币和债券的回报率还是有可能较高的，所以债券和货币持有率高的基金P1最优。
　　在市场因素下，可求得：λmax=3.185，C.I=（3.185-3）/2=0.093＜0.1。
　　由此可知，经济回升意味着二级证券市场也将步入多头市场，也使这部分投资比例比较大的基金P1有可能获得更大利益。
　　在企业因素下，可求得：λmax=3.093，C.I=（3.093-3）/2=0.047＜0.1。
　　由此可知，微观经济也将逐步恢复，企业效益回升势必将带动该企业股票的上扬，股票投资回报也有可能更大，因此，股票投资比例较大的基金P3更具优势。
　　从一致性验证结果来看，以上的矩阵的C.I均小于0.1，所以矩阵满足一致性要求，判断结果有效。
　　第四，计算组合权重。
　　
　　从表4的组合权重可以看出，P3得分最高，其次是P1，所以，投资者应选择P1和P3两支基金作为投资对象。
　　第五，应用动态规划法计算100万的资金在P1和P3两支基金的分配情况。P1为第1支基金，P3为第2支基金。
　　动态规划模型如下：设xi为第i支基金的资金分配量，ri为第i支基金的平均收益率，qi为第i支基金的平均风险损失率，pi为第i支基金的交易费率，q为投资者的风险上限。
　　max xiri+100- xipi （xi+xipi）≤100 xiqi≤q0≤xi≤100且xi为整数i＝1，2
　　令r1=5%，r2=7%，q1＝3%，q2=6%，p1=1.2%，p2=1.5%，q=30，则可以求解出x1=0，x2=98，即该投资者只需拿出98万投资到p3基金上就可获得最大收益。
　　
　　五、结论
　　
　　本文提出了一种将层次分析法和动态规划相结合的决策方法，对于基金组合的选择有着比较高的理论价值和现实意义。但是，该方法仍然有一些缺陷，比如，两两因素权数的选定就存在着很大的变数；层次结构模型中标准层的选定也需要进一步的研究等等。
　　
　　参考文献：
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　　2、陆地.证券投资基金组合AHP模型分析[J].内蒙古财经学院学报,2002(2).
　　3、申树斌,夏少刚.考虑最优消费的动态风险投资组合决策模型[J].运筹与管理,2002(5).
　　4、韩伯棠.管理运筹学[M].高等教育出版社,2005.
　　[作者单位：中国地质大学（武汉）。作者为博士]
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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