用定义证明极限题型分析

来源:用户上传      作者: 马春萍

　　 摘 要： 本文针对用定义证明极限的一般题型作出分析。
　　 关键词： 极限； 数列的极限； 函数的极限； ε-N语言； ε-δ语言
　　中图分类号： G427 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）02-0216-01
　　
　　 极限是高等数学的基础概念之一，导数、定积分、偏导数、重积分以及曲线曲面积分都是通过极限来定义的，极限有关问题也是高等数学的重要题型。虽然极限的求解方法很多，但用定义来证明极限却是最基础的方法，同时，极限的ε-N语言、ε-δ语言有助于对极限的理解。下面针对数列以及函数极限的相关题型分别作出分析。
　　 一、数列的极限
　　 1. 对数列{xn}与常数a，若对任意给定ε＞0总存在正整数N，使对n＞N的一切xn，xn-a＜ε都成立，称数a为数列{xn}的极限，记为xn=a.由此，若要证明数a为{xn}的极限，只需对任意给定ε＞0求解N，为了找N，令xn-a＜ε反解出n＞φ（ε），取定N=[φ（ε）]即可。下举一例。
　　 例1 证明数列xn=的极限是1.
　　 解：对任意的ε＞0，xn-a=-1=，为了使-1＜ε即＜ε得n＞，取N=，则当n＞N时有-1＜ε，故=1.
　　 2. 若对任意给定M＞0总存在正整数N，使对n＞N的一切xn，xn＞M都成立，称数列{xn}的极限为无穷，记为xn=∞.由此，若要证明数列{xn}的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解N，为了找N，令xn＞M反解出n＞φ（M），取定N=[φ（M）]即可.
　　 二、函数的极限
　　 设函数f（x）在x0的某一去心邻域内或x大于某一正数时有定义，下面就x→x0及x→∞两种情况进行分析.
　　 1. 若对任意给定ε＞0总存在正数δ＞0，使得满足0＜x-x0＜δ的一切x有f（x）-A＜ε都成立，称数A为f（x）当x→x0时的极限，记为f（x）=A.由此，若要证数A为f（x）当x→x0时的极限，只需对任意给定ε＞0求解正数δ＞0，为了找δ，令f（x）-A＜ε反解出x-x0＜φ（ε），取定δ=φ（ε）即可.下举一例.
　　 例2 证明：当x0＞0时=.
　　 解：对任意给定ε＞0，-= x-x0＜ε即x-x0＜ε；同时x 0可由x-x0x0保证，取δ=min{x0，ε}，则当0＜x-x0＜δ时有-＜ε，故=.
　　 2. 若对任意给定M＞0总存在正数δ＞0，使得满足0＜x-x0＜δ的一切x有f（x）＞M都成立，称f（x）当x→x0时的极限为无穷，记为f（x）=∞.由此，若要证f（x）当x→x0时的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解正数δ＞0，为了找δ，令f（x）＞M反解出x-x0＜φ（ε），取定δ=φ（ε）即可.
　　 3. 若对任意给定ε＞0总存在正数X＞0，对x＞X的一切x有f（x）-A＜ε都成立，称数A为f（x）当x→∞时的极限，记为f（x）=A.由此，若要证数A为f（x）当x→∞时的极限，只需对任意给定ε＞0求解正数X＞0，为了找X，令f（x）-A＜ε反解出x＞φ（ε），取定X=φ（ε）即可.下举一例.
　　 例3 证明：=0.
　　 解：对任意给定ε＞0，-0=＜ε即x＞，取X=，则当x＞X时有＜ε，故=0.
　　 4. 若对任意给定M＞0总存在正数X＞0，对x＞X的一切x有 f（x）＞M都成立，称f（x）当x→∞时的极限为无穷，记为f（x）=∞.由此，若要证f（x）当x→∞时的极限为无穷，只需对任意给定M＞0求解正数X＞0，为了找X，令f（x）＞M反解出x＞φ（ε），取定X=φ（ε）即可.
　　 参考文献：
　　 [1] 同济大学数学教研室.高等数学（四）[M].北京：高等教育出版社，1993.
　　 [2] 华东师范大学数学系.数学分析（二）[M].北京：高等教育出版社，1991.

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