贵重奢侈品销售贮存的马氏链模型

来源:用户上传      作者: 常华珍　高云峰

　　[摘要] 马氏链模型通常用于描述具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程，本文针对贵重奢侈品销售贮存的特点，构造了马氏链模型，并进行了敏感性分析，说明模型的合理性。
　　[关键词] 销售贮存 马氏链(Markov Chain) 泊松（Poisson）分布
　　
　　一、马氏链模型简介与应用
　　在考察有随机因素影响的动态系统时,常常碰到这样的情况：系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。这种性质称为无后效性，或马尔可夫（Markov）性。具有无后效性的，时间、状态均为离散的随机转移过程通常用马氏链（Markov Chain）模型描述。马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域有着广泛的应用。
　　二、马氏链及其基本方程
　　按照系统的发展，时间离散化为，对每个n，系统的状态用随机变量表示，设可以取k个离散值，且记，即状态概率，从到的概率记，即转移概率。如果的取值只取决于的取值及转移概率,而与，的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为
　　 （1）
　　并且和应满足
　　（2）
　　 （3）
　　（4）
　　引入状态概率向量和转移概率矩阵，（3）式表明转移矩阵P是非负阵，（4）式表示P的行和为1，称为随机矩阵。
　　定义1一个有k个状态的马氏链如果存在正整数N，使从任意状态i经N次转移都以大于零的概率到达状态，则称为正则链。
　　用下面的定理容易检验一个马氏链是否为正则链。
　　定理1若马氏链的转移矩阵为P，则它是正则链的充要条件是：存在正整数N使（指的每一元素大于零）。
　　定理2正则链存在惟一的极限状态概率，使得当时状态概率与初始状态概率无关。w又称为稳态概率，满足
　　（5）
　　（6）
　　三、贵重奢侈品销售存贮的马氏链模型假设与建立
　　像汽车、钢琴这样的贵重奢侈品销售量很小，商店里一般不会有多大的库存量让它积压资金。这里通过一个简单的实例来分析、评价一种贮存策略的效果。
　　一家商店根据以往经验，平均每周只能售出1架钢琴。现在经理制定的贮存策略是:每周末检查库存量，仅当库存量为零时，才订购3架供下周销售；否则，不订购。试估计这种策略下失去销售机会的可能性有多大，以及每周的平均销售量是多少？
　　我们对问题提出以下模型假设：(1)钢琴每周需求量服从泊松分布，均值为每周1架；(2)贮存策略是当周末库存量为零时，订购3架，周初到货，否则，不订购；(3)以每周初的库存量作为状态变量，状态转移具有无后效性；(4）在稳态情况下计算该贮存策略失去销售机会的概率，和每周的平均销售量。
　　记第n周的需求量为，由假设1，服从均值为1的泊松分布，即 （7）
　　记第n周初的库存量为是这个系统的状态变量，由假设2，状态转移规律为。
　　由（7）式和状态转移概率计算公式，得矩阵
　　。
　　记状态概率，根据状态转移具有无后效性的假设，有。用定理1对照得到的转移矩阵P，可知这是一个正则链，具有稳态概率分布可由（5），（6）式得到。
　　该贮存策略（第n周）失去销售机会的概率为，按照全概率公式有 其中的条件概率容易由（7）式计算。当充分大时，可以认为
　　最终得到，即从长期看，失去销售机会的可能性大约10%。
　　在计算该贮存策略（第n周）的平均销售量时，应注意到，当需求超过存量时只能销售掉存量，于是
　　
　　同样地，当n充分大时用稳态概率代替，得到,即从长期看，每周的平均销售量为0.857架。
　　四、模型的敏感分析和进一步研究方向
　　这个模型用到的惟一一个原始数据是，平均每周售出1架钢琴，这个数值会有波动。为了计算当平均需求在1附近波动时，最终结果有多大变化，设服从均值为的泊松分布，即有，由此得状态转移矩阵为
　　
　　对于不同的平均需求（在1附近），类似于上面的计算过程，记，可得到以下结果：
　　
　　即当平均需求增长（或减少）10%时，失去销售机会的概率将增长（或减少）约15%，这是可以接受的。
　　本文介绍的是对已经制定的贮存策略，用两个指标加以评价，还可以给出其他的策略和指标，做进一步的研究。
　　
　　参考文献：
　　[1]姜启源谢金星:数学模型[M].高等教育出版社，2003．
　　[2]M．M．Meerschaert．MathematicalModeling (secondedition) [M]．Acadermic Press，1999

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