利用充分光滑的S形函数构造Meyer小波

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　　摘 要：为了在信号或图像的重构中获得较好的平滑效果，必须尽量增大小波的正则性或者连续可微性。在Meyer小波构造中S形函数的选取影响着Meyer小波的可微性、光滑性和衰减速度等性质，所以S形函数的选取至关重要。给出一种构造充分光滑的S形函数的方法，并以一个充分光滑的非多项式S形函数为例，将其作为BP神经网络中的激励函数进行函数逼近得到好的逼近效果且训练次数少。然后通过充分光滑的S形函数得到Meyer小波的尺度函数，给出相应的具有充分光滑、高阶消失矩且无穷次可微性的频谱有限的Meyer小波。最后把充分光滑的Meyer小波与剪切波变换结合进行图像去噪，与传统的Meyer小波剪切波变换去噪相比較，峰值信噪比高于传统的Meyer剪切波变换且去噪后的图像纹理和边缘信息保留更加完整。
　　关键词：小波分析;Meyer小波;S形函数;尺度函数;高阶消失矩
　　DOI：10.15938/j.jhust.2019.02.019
　　中图分类号： O174.22
　　文献标志码： A
　　文章编号： 1007-2683（2019）02-0127-08
　　Abstract：In order to obtain better smooth effect in signal or image reconstruction， the regularity or continuous differentiability of wavelet must be increased as much as possible. The selection of sigmoid function in Meyer wavelet construction affects the differentiability， smoothness and attenuation speed of Meyer wavelet， so it is exceedingly essential to select sigmoid function. Firstly， a method of constructing fully smooth sigmoid function is given， and a sufficiently smooth nonpolynomial sigmoid function is taken as an example， which is used as the excitation function in BP neural network for function approximation to obtain good approximation results. Then， the scale functions of Meyer wavelets are obtained by fully smooth sigmoid functions. Meyer wavelets with limited spectrum are given with sufficient smooth， highorder vanishing moments and infinitesimal differentiability. Finally， the full smooth Meyer wavelet and the shearlet transform are combined to denoise the image. Compared with the traditional Meyer wavelet shearlet transform， the peak signaltonoise ratio is higher and the denoised image texture and edge information are more complete.
　　Keywords：wavelet analysis; Meyer wavelet; sigmoid function; scaling function; high order vanishing moment
　　收稿日期： 2018-09-04
　　基金项目： 国家自然科学基金（11871181）.
　　作者简介：
　　邓彩霞（1965—），女，博士，教授，硕士研究生导师.
　　通信作者：
　　邵云虹（1994—），女，硕士研究生，Email：18846141926@163.com.
　　0 引 言
　　小波分析是80年代中期新兴的一门学科，它是在Fourier分析的基础上创建起来的[1]。由于它具有良好的时频特性，因此可以更好地实现信号的处理[2]、小波降噪[3-4]、模式识别[5-6]等。1988年，Mallat提出多分辨率分析概念，为正交小波的构造提供可行性方法[7]。正交小波按照其特点可以分成两类：一类是频谱有限函数，通常称为Meyer型小波，例如Meyer小波;另一类是正交小波在时间域上具有紧支集，称为Daubechies小波[8]。Daubechies小波是工程中常用的小波，然而许多能量有限信号是频谱有限的，Daubechies小波在应用中受到一定限制，因此研究在频域内具有紧支撑的Meyer型小波是十分重要的。
　　经典的Shannon小波，它有理想的频域性能，但是它在时域中的局部性却很差。因此，法国数学家Meyer于1986年建议修正频域上的Shannon尺度函数，既平滑了尖锐的边缘值，又保留了其正交性条件，得到Meyer小波的尺度函数，进而得到Meyer小波函数[9]。Meyer小波具有一定的可微性、衰减速度快和高阶消失矩等性质，因此Meyer小波有着广泛的应用。如Meyer小波可以用于解决方程的不适定问题[10]，实现对脉冲噪声的信号处理[11]和利用Meyer小波的尺度函数进行采样[12]等。由于Meyer小波这些良好的性质取决于它的尺度函数的性质，而尺度函数的性质与它的S形函数的性质密切相关，所以研究不同的S形函数可以得到性质不同的Meyer小波的尺度函数，再根据多分辨率分析方法给出相应的Meyer小波函数。Meyer通过概率的形式引入了多项式型S形函数[13]，理论上可以获得在（-∞，+∞）上任意有限阶可导连续的多项式型S形函数，但随着其可导阶数的增加，它在[0，1]上的多项式次数也增加。例如常用的多项式型S形函数在[0，1]上为一个七次多项式x4（35-84x+70x2-20x3），但它在（-∞，+∞）上是三阶可导连续的函数。可见Meyer给出的多项式型S形函数在[0，1]上的多项式次数越高越不便于数值计算。虽然存在三角函数型S形函数[14]，如在[0，1]上为sin2π2x，但它在（-∞，+∞）上仅为一阶可导连续函数，光滑性较差。而S形函数的光滑性直接影响Meyer小波函数的可微性，可微性越高，Meyer小波的消失矩也越高。小波的消失矩阶数越高，光滑函数在小波展开式中的零元就越多，也就是说小波的消失矩的大小决定了小波逼近光滑信号的能力，越大的消失矩将使高频系数越小、小波分解后的图像能量也就越集中、压缩比例就越高，这一点也可以用来进行图像压缩[15]和图像分解[16]，所以考虑具有高阶可微的S形函数是必要的。本文给出充分光滑的S形函数的一种构造方法，得到相应的Meyer尺度函数和小波函数，进一步提升Meyer小波函数的可微性、衰减速度和消失矩等性质。Meyer小波可以与剪切波变化结合进行图像去噪，剪切波是一种新型多尺度几何分析工具，以普通小波作为基函数，对基函数进行剪切、平移和伸缩变换而生成具有多方向的多分辨分析函数[17]，剪切波被广泛应用于图像去噪[18-19]。剪切波为了去噪处理后获取更佳的视觉效果，在选取基函数时，需要增加小波的光滑性或连续可微性，所以利用本文构造的充分光滑的Meyer小波作为剪切波的基函数进行图像去噪，提高图像的去噪效果。 　　1 多分辨分析及正交小波函数
　　通过仿真实验结果可以看出，本文选取的充分光滑的Meyer小波作为剪切波的基函数得到的剪切波在图像去噪中峰值信噪比相对较高，说明本文的算法实现是有实际意义的，从图6-8可以看出本文充分光滑的Meyer剪切波去噪效果更好，在边缘和纹理的处理上也更加完整。
　　4 结 论
　　由于不同的S形函数构成的尺度函数不同，通过改进S形函数进一步改进由尺度函数构成的Meyer小波函数的性质。本文给出一种充分光滑的S形函数构造方法，以一个充分光滑的非多项式型S形函数为例，将其应用在BP神经网络函数逼近中作为一个新的激励函数进行仿真应用，得到较好地逼近效果且用时相对较少。同时基于充分光滑的S形函数得到相应的Meyer小波的尺度函数，根据Fourier变换及小波分析理论得到了Meyer小波函数时域和频域的函数表达式，给出Meyer小波函数具有无穷次可微性、高阶消失矩和快速衰减性等良好性质。同时把构造的充分光滑的Meyer小波作为剪切波的基函数，提高剪切波图像去噪的效果，更好地保留图像的纹理和边缘等信息。
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　　（编辑：关 毅）
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