基于动态图的复杂系统建模方法
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摘 要： 为解决具有动态拓扑结构的复杂系统的建模问题，提出一种对其进行解释结构建模和数学建模的新方法。该方法基于动态图理论，利用可达矩阵对系统进行强连通子集和区域划分;利用缩减矩阵，对系统的子系统进行级别划分;再通过缩减逆变换求取系统的骨架矩阵，并利用得到的骨架矩阵，建立系统的结构模型，该模型就是一个分级动态图。该方法有利于计算机实现，具体算例验证了该方法的有效性。
关键词： 动态图; 复杂系统; 解释结构; 建模方法
中图分类号：TP11 文献标志码：A 文章编号：1006-8228（2019）08-49-04
Abstract： In order to solve the modeling problem of complex systems with dynamic topological structures， a new method of interpretive structural modeling and mathematical modeling is proposed. The method is based on dynamic graph theory. Firstly， the system is divided into strongly connected subsets and regions by using reachability matrix; secondly， the subsystems of the system are classified by using reduction matrix; thirdly， the skeleton matrix of the system is obtained by reducing inverse transformation， and then the structure model of the system is established by using the skeleton matrix obtained. The model is actually a hierarchical dynamic graph. The method is beneficial to computer implementation， and the effectiveness of the method is verified by an example.
Key words： dynamic graphs; complex systems; interpretive structural; modeling method
0 引言
復杂系统与复杂性科学被誉为21世纪的科学，是吸引跨学科广泛注意的新型交叉科学，已经成为广大研究者自20世纪末以来的研究新热点[1]。所谓复杂系统，就是由大量子系统以某种关系耦合在一起而组成的系统，它通常会表现出自组织、涌现等特性。复杂系统作为复杂性的表现载体，涉及的范围非常广泛，包括自然、工程、生物、经济、管理、政治与社会等各个方面，它普遍存在于自然界、社会以及各个不同学科领域中，可以说几乎无处不在，如复杂制造系统、复杂工程系统、生物系统、社会系统、天体系统、经济系统、电力系统、群体系统、通信系统等，它们都是复杂性科学研究的具体对象。一般来说，复杂系统的子系统之间耦合关系通常是动态的，这意味着系统的拓扑结构不是固定的、成熟的，也不是一成不变的;相反，由于外部作用的驱使内部元素的作用或遵循明确的预先确定的演化规则，允许它随时间演化和调节[2]。那么，如何根据对具有动态拓扑结构的复杂系统的描述和分析，为其建立结构模型和数学模型，是值得深入研究的课题。
本文从图论出发，讨论动态图的连通性、可达性、区域性等特性，并利用其对复杂系统进行了描述和结构建模，然后根据动态图与动态邻接矩阵的同构性，给出了复杂系统的数学模型。
1 动态图理论
图论是复杂网络精确数学处理的自然框架，且形式上复杂网络可以用图表示。对于复杂系统，如果将子系统看作复杂网络的顶点，子系统之间的耦合关系看作复杂网络的边，那么，复杂系统就可以用一个复杂网络来描述，也即可以用一个图来描述。但传统的图论主要研究的是具有固定边权的静态图，对于描述耦合关系随时间变化的复杂系统稍显不足，因而需要对传统的图论进行扩展，将静态图推广到动态图。
首先定义一个具有顶点数为[N]的图空间[Ω]。考虑有向图[D=（V，E）]，其中[V]是[N]个顶点的非空集，[E]是有向边（弧）的集.对每条弧[（vi，vj）][∈E]，分配一个权值[eij]，若[（vi，vj）][?E]，则[eij=0]。根据图与矩阵同构概念，图[D]可以利用邻接矩阵[E=（eij）][∈RN×N]表示。考虑映射[Φ（t，D）]对于[?D∈Ω]、[t∈R]，确定一个图[Φ∈Ω]。由此，定义[3]：
定义1 动态图[D]是图空间[Ω]到其自身的一个单参数映射[Φ（t，D）：R×Ω→Ω]，且同时满足以下三个条件：
4 结束语
本文基于动态图理论，针对具有结构约束的动态互联复杂系统，提出了一种有效的结构模型和数学模型建立方法，该方法建立的模型直观且易于用计算机实现，有利于复杂系统的稳定性分析、脆性研究、协调控制研究和分散控制研究等后续研究。
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