分层教学在大学线性代数与解析几何教学中的初探

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　　【摘 要】分层教学是一种组织形式，并非是要将学生分等级，而是要让学生在不同的“层”中，各有所长、各有发展。本文介绍了分层教学理论，在本研究中，根据大学线性代数课堂教学的实际情况进行分层教学的分析和设计，初步探讨了其在大学线性代数与解析几何课程教学实践中的应用。研究发现，分层教学在大学课堂教学中应用具有较大的发展潜力和价值。
　　【关键词】分层教学;线性代数与解析几何;教学实践;个性化教学
　　中图分类号： G642 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2019）33-0125-002
　　DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.062
　　Discussion on Stratified Teaching in Linear Algebra and Analytic Geometry Course
　　TAN Jian
　　（School of Science，Nanjing University of Posts & Telecommunications，Nanjing Jiangsu 210023，China）
　　【Abstract】Stratified teaching is an organizational form.The goal is not to classify students，but to allow students to develop themselves in different“layers”.In this paper，we introduce the theory of stratified teaching and discuss its application in the teaching practice of linear algebra and analytic geometry in universities.
　　【Key words】Stratified teaching;Linear algebra and analytic geometry;Teaching practice;Personalized teaching
　　信息化时代，各式各样的技术不断在推进因材施教。当下，技术还未发展到能够为个性化学习提供完备的教学支撑。全球各个国家，尤其是我国，仍然无法脱离传统的大班额的教学环境，教师无法随时关注到每一位学生的情况，并在此基礎上做出即时反应。这种情况下，分层教学作为实现个性化教学的重要途径，应当受到关注。大学课堂学生来源多样，有必要对学生差异进行深入分析，进行分层教学的设计与实施。
　　0 引言
　　分层教学的实践可追溯到1876年，在美国圣路易洲实行的Harris W.T.计划，其目的是快速提升小学阶段较聪明的学生的成绩[1]。19世纪末20世纪初，为了解决学生水平参差不齐，留级严重的问题，“西方现代教育派”提出来在学校进行分层教学的要求[2]。到20世纪末，分层教学已经在全球范围内流行，包括澳大利亚、法国、日本、新西兰、韩国等国家。目前来看，分层教学已经成为英国、美国的传统——美国高中主要采用学科分层模式，并开始丰富多样的兴趣班[2];在英国，90%以上的中小学都采用分层教学形式[3]。
　　近年来，由于高校招生数不断扩充，学生层次有着不小的差异，从而在高校里开展的分层教学实践研究是非常必要的。本文主要以大学线性代数与解析几何课程[4]为例，初步探讨在大学课堂中实施分层教学法的重要性。
　　1 分层教学的实施
　　本文以理工科（非数学专业）的W班为例进行分层教学理论的初步应用的研究。W教学班包含2个行政小班，总共由71名学生构成。首先，通过过程化管理与随堂测验，根据测验成绩对所在在班级的学生进行同质分组;再者，以学生为中心，为不同层次的学生设置不同的学习目标与学习任务;最后，在真实的课堂教学环境下实施线性代数的教学，时间为一个学期。整个学期分为三个阶段进行教学实践，三个阶段的教学情况如下。
　　在教学实施的第一个阶段，主要讲授行列式以及矩阵内容。在课前随机谈话抽查提前了解所在班级的学生大致的数学基础与学习期望，并根据课堂表现与前几次的课后作业情况，并在此期间进行第一次阶段性测验，从而对W班的学生有更深入的了解，逐渐以262模式对学生进行分组，即前20%的学生列为A组，中间60%的学生列为B组，其他列为C组。对于A组的学生，其教学目标应要高于为本专业制定的教学大纲要求，参考线性代数研究生入学考试大纲和数学类高等代数与解析几何的教学要求;C组的教学目标，能够达到本专业要求的最低教学大纲的基本目标，能保证基本知识与能力的培养，并有部分学生能在后面阶段向B组靠近;B组的学生在保证完成现有的教学目标基础上，注意引导和适当拔高，使得部分学生逐渐走向A组。
　　第一阶段的日常教学课程中，要时时注意不同组学生们的学习状态。在备课时候，教学设计要有层次感，先易后难，难度适中，结合不同组的学生设计若干引例与例题。在课堂教学时候，要注意不同组的学生的反馈，适当调整教学速度与教学安排。比如，在教授矩阵的逆时候，从最简单的例子出发，启发引导式学习，环环相扣，得到矩阵可逆的充分必要条件，并给出其严格的证明。最后针对3组学生设计3道难度不同的例题，从具体到抽象，从而培养学的数学思维，而不仅仅是形式上的逻辑推导或机械性计算。
　　教学第二阶段主要讲授空间解析几何与向量运算、n维向量以及线性方程组。在该阶段，学生在该课程学习的分层更加明显。通过进一步谈话抽查，A组学生往往有继续深造的意向，他们都有非常强烈的学习欲望，知识掌握扎实且不满足现有的课程内容;然而C组有部分学生仅仅是为了应付考试，学习主动性不强。对于前者，在课余时间补充适当的内容，并给出一些指导建议，还可以运用思维导图等工具让学生回顾知识，逐渐形成自己的线性代数与解析几何的智慧图，最终对线性代数有着更系统与全面的认识。对于后者，通过谈话与交流，让学生意识到课程的重要性，并适当地进行集中辅导与个别辅导。尤其在教学过程中，结合不同层次的学生，在教授新的知识也可以适当复习前一阶段的知识。比如，在讲授向量组的线性相关性时候，可以通过线性方程组来引入相关概念并利用线性方程组解的判定定理来得出等价定义，然后再回到空间向量的平行和共面的关系上，最后给出若干个向量组的线性相关性判定定理及其严格证明。这样从具体到抽象，再到具体，最后又回到抽象。这样既能满足不同层次的学生的需求，也能达到既定的教学目标。 　　第三个阶段开始讲授矩阵相似对角化与二次型。在第三阶段开始前，我们进行了第二次阶段性测验。通过测验的结果显示，学生分层是个动态演变的过程，一些B组学生进入了A组，一些C组学生进入了B组，W班的学生慢慢形成了361模式。最后除了C组这一小部分学生的学习习惯仍然不够好，且学习态度不够端正，绝大部分学生都展现出比较积极的学习状态。对于C组的学生，通过联系辅导员和班主任，深入了解這些学生的情况后进行相应的个别辅导;A组与B组的学生继续保持目前学习状态，完成或者超额完成教学目标。由于最后两章会反复利用前面章节的概念与知识，为了带动中后层的学生复习，在教学安排中会注意适当温习前面的知识。因此在教学题目的讲解中，可以借助思维导图等工具将解题思路理清。比如，在讲授用正交变换法将二次型化成标准型的时候，可以将矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量、正交化、线性无关等各个概念串联一起，这样可以有效地提高大学生的线性代数知识吸收效率。
　　通过三个阶段的分层教学实施，在实践中不断调整和完善课程目标和内容，最终完成了一个学期的线性代数的教学。值得一提的是，学生在分层教学的课堂中也取得了较好成绩。
　　在课程评价中，针对线性代数与解析几何课程，施行考教分离、流水批改试卷的评价策略。通过一个学期的分层教学实践，我们取得了比较不错的成绩。W班期末成绩统计如下：90分以上（优秀）人数占32.39%，80-89分（良好）占39.44%，70-79分（中等）占15.49%，60-69分（及格）占4.23%，60分以下占8.45%。
　　2 结论与展望
　　实践结果表明，分层教学在该课程中起了很重要的作用。面对不同的学生，洞察学生的特点，发挥每个学生的长处，因材施教。再者，通过关注每个层次的学生，结合过程化管理，精心做好教学设计，充分研讨不同层次学生的教学方法，让每位学生都能参与到课堂上来，由被动学习转变成主动学习。最终让学生不仅仅在乎最后的期末成绩，而且能够爱上了线性代数与解析几何这门课程。
　　本研究的分层教学模式比较单一，主要是使用了班内同质分组教学模式。我们还可以结合FEGA模式，即在一个共同的教学阶段之后，根据学习能力将学习者分为高级学程、扩充学程、基础学程、接合学程，高级学程学习更多的扩充材料，接合学程获得更多的教学帮助。数学后进生可选择增加适量的学时并进行集中辅导与个别辅导使其掌握基本知识，从而提高学业成绩;数学优秀生可提供一些学习材料和实验课题，比如利用该课程知识解决区组设计、图论、数论等问题。总之，在大学中实施分层教学，还要进一步了探究与运用分层教学法，因材施教，让每个学生都能积极主动地学习，培养他们具有数学的思维方式，使其受益终身。
　　【参考文献】
　　[1]Kulik C.，Kulik J.Effects of ability grouping on secondary school students：a meta-analysis of evaluation findings[J].American Educational Research Journal，1982，19（3）：415-428.
　　[2]丁献.美国对按能力分班（组）教学效果的研究[J].比较教育研究，1990（2）：51-53.
　　[3]吴佳莉.英国中小学分层教学研究[D].西南大学，2016.
　　[4]赵礼峰，李雷，张爱华，王晓平，万彩云.线性代数与解析几何（第二版）[M].科学出版社，北京，2016.
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