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线性代数教学方法探索与实践

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  摘 要
  线性代数是理工科院校必修的一门数学基础课程,抽象难懂。本文根据课程内容特点,结合教学实践,对教学方法进行初步探索和实践,课堂效果良好。
  关键词
  线性代数;教学方法;矩阵
  中图分类号: G642;O151.2-4          文献标识码: A
  DOI:10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 22
  线性代数是理工科专业和经管类专业必修的一门数学基础课,不仅提高学生抽象思维能力、逻辑推理能力,而且为后续专业课的学习奠定一定的数学基础,使专业课的学习更加得心应手。然而,由于线性代数课程抽象性的特点,学时又少,传统的教学方法多数以老师为中心的填鸭式、灌输式等教学模式,很少采用启发式、案例式等教学方法,教师与学生之间的互动较少,学生被动地接受知识,课堂教学效果不好,且不能充分调动学习的积极性,不利于培养学生学习线性代数的思维能力及探索精神。
  如何提高学生学习的积极性、主动性,使学生主观的参与教学,那么教学方法的选取尤为重要。教学方法的发展是批判继承继而改进创新的过程,在线性代数课程的教法设计中,应该注重总结传统教学方法的实施效果,进而形成与线性代数教学内容相匹配的“灵活性”教法体系[1]。因此,教学方法的选取应该根据学生专业的特点,各个章节内容的特点,灵活的选取不同的教学方法,改进教学现状,提高课堂教学效果。
  1 案例式教学法
  案例式教学法即为在教学过程中引入适当的案例,使所讲知识更易简单明了,知识运用更易通俗易懂。教师可根据学生的专业选取相關的案例,鼓励学生参与到学习的讨论中,激发学生学习的兴趣,使学生在轻松的环境中体会所学知识在专业课中的应用,从而提高学习的主观能动性。比如经管类专业学生在学习矩阵知识时,引入案例:某学校准备组建一个机房,需要指定型号的计算机60台,打印机10台,电脑桌椅60套,甲、乙、丙三家公司提供的报价为。
  问题:若在一家购买,应选哪家?在讲授时,首先分析表格里面的元素不能随意交换位置,像此类数表就称为矩阵,引出矩阵的概念,指出是3×3矩阵。在解决问题时,引入可否运用矩阵相乘求得结果呢?设矩阵A=6000 3500 4005500 3900 4505800 3600 480,B=601060,求解AB=419000396000412800,根据结果,易判断在乙家公司选购,此时,由于计算量较大,可以简单介绍Matlab中计算矩阵相乘的程序,借助软件简化计算量。通过此案例的选取,首先介绍矩阵概念,进而对矩阵相乘的一个实际应用,最后介绍Matlab中关于矩阵的求解,使得学生较易理解概念,学以致用,从而提高学习兴趣。
  2 启发式教学法
  讲数学课不易做到语言生动、引人入胜,但可以思路清晰、语言简练、不断提出问题,不断解决问题从而吸引学生注意力,调动学生积极思考[2]。启发式教学法能循序渐进,层层深入地讲解,使学生带着问题去听课,提高注意力。比如在讲逆矩阵时,先引入数的运算,当a≠0时,aa-1=a-1a=1,a-1=为a的倒数(或称a的逆)。提出问题,矩阵是否存在这样的A-1,使得AA-1=A-1A=E?若存在,可否称A-1为矩阵A的逆呢?aa-1=a-1a=1成立的充要条件是a≠0,那么方阵A的逆存在的充要条件是否是|A|≠0?在讲向量组的线性相关性时,有一个定理是若a1,…,ar线性相关,则a1,…,ar,ar+1,…,am(m>r)线性相关[3],简称为部分相关,则整体相关。提出问题,整体相关,则部分相关吗?若不一定相关,能否找到一个极大线性无关组呢?进而引出向量组秩的概念。这样的教学设计,使学生从简单到复杂,由浅入深的学习过程,比较容易接受新知识,且学习兴趣也比较高。
  3 对比分析法
  对比分析法,就是根据两个(或两类)对象间的某些方面,推出它们在其他方面也有相似或相同的属性[4],比如第一章行列式和第二章矩阵,两者的概念完全不同,运用对比分析法,分析两者之间的不同与相似之处,不同之处在于,行列式符号||,矩阵符号[];行列式是一个数值,矩阵是一个数表;行列式的行数等于列数,矩阵的行数与列数不一定相等。相似之处在于,行列式的性质和矩阵的初等变换有相似之处。通过运用对比分析法,使学生较易接受新概念、新知识,并且分清不同之处,在日后的运用时不易混淆。
  在讲矩阵的初等变换时,引入例题,解一个非齐次三元线性方程组,先用消元法求解,接着用克拉默法则求解线性方程组,最后用增广矩阵的初等行变换来解,通过对比分析求解过程,发现用矩阵的初等行变换求解线性方程组更简单,直观,学生们也比较容易接受新思想,新方法。
  4 总结归纳法
  数学教学主要是培养学生的逻辑思维方式,在线性代数的课堂教学中,通过知识点之间的并串联关系,及时地对其进行总结归纳,只有掌握知识点之间的各种关联,才能真正理解知识点的概念实质,才能更好地解决问题[5]。如学完第一章行列式,回顾所讲内容,先介绍二阶、三阶行列式,再推广到n阶行列式,再介绍了行列式的性质与运算,在计算方法上介绍了克拉默法则,也可借助知识框架图,更清晰明了。再比如,第二章讲完矩阵之后,要及时归纳矩阵可逆的充要条件。第三章线性方程组讲完之后,又可以和第二章紧密联系起来,以下七个命题等价:(1)方阵A可逆;(2)|A|≠0;(3)A与单位矩阵E等价;(4)A满秩;(5)A为非奇异矩阵;(6)齐次线性方程组只有零解;(7)向量组线性无关。
  向量组线性表示可以与非齐次线性方程组联系,向量组线性相关性可以与齐次线性方程组联系。通过归纳总结所学知识,把看似独立的知识点紧密地联系起来,使学生心中形成一个知识链,有利于日后走向工作岗位养成总结的习惯。
  5 抽象具体化法
  当讲授内容的定义、定理较多时,学生往往觉得知识很抽象,晦涩难懂,这时需要将抽象内容形象化、具体化,可借助举例说明,在例题中体现定义、定理的思想,使学生能够找到知识的关键点。比如讲授行阶梯形矩阵,行最简型矩阵,标准型矩阵时,虽然学生们知道这三类矩阵各自的特点,但问题是怎样将一个矩阵化为标准型,而有些教材并未涉及相关例题,此时需要举一些简单的例子,将先通过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简型矩阵,再通过初等列变换化为标准型,在化简过程中要掌握特点。
  在介绍完极大线性无关组的定义后,可以举例α1=10,α2=10,α3=10,求向量组{α1,α2,α3}的一个极大线性无关组。根据定义易得出以下结论:向量组{α1,α2,α3}的极大线性无关组是α1,α2,或者α1,α3,或者α2,α3。通过这个例题的讲解,说明两点内容,一是极大线性无关组是不唯一的,二是极大线性无关组所含向量的个数是唯一的,极大线性无关组所含向量的个数又称为向量组的秩,使学生能够明白用定义法怎么确定极大无关组及向量组的秩。
  线性代数教学过程是一个动态过程,需根据学生专业、知识水平等情况灵活的选择教学方法,因材施教。同时,这些教学方法要不断实践,在实践中不断改进、创新,不但提高自身教学水平,而且有助于提高课堂教学效果,调动学生学习积极性,培养学生的逻辑推理能力,严谨的数学思维和创新能力,提高学生在知识经济时代的适应力。
  参考文献
  [1]梁静静.线性代数“灵活性”教学方法设计探究[J].科技创新导报,2018(27):219-220.
  [2]王翠香.线性代数课程的特点与教学方法探究[J].大学教育,2019(11):91-93.
  [3]唐晓文,王昆仑,陈翠.线性代数第二版[M].上海:同济大学出版社,2012.
  [4]姜丽颖,张国林.类比方法在线性代数教学中的应用[J].高教学刊,2018(24):73-75.
  [5]孙怡川.浅谈独立学院线性代数课程教学方法的几点体会[J].科教文汇,2018(12):51-52.
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