谈高考复数的命题

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　　复数在近年高考中属降低要求的内容，但由于它仍然代表一个“知识块”，因此始终未被高考遗忘.无论是全国统一命题还是部分省市的自主命题，在高考试卷中都可以见到复数的“身影”.注重对复数进行复习依然非常重要，下面让我们一起来关注一下复数的常见题型.
　　
　　一、运算规律型
　　例1 in+1+in+2+…+in+2008(n∈N*)=（）
　　 Ai n+3 B0 C1 Di
　　解析 由in+1+in+2+…+in+2008=in• =0，选B.
　　点评 此类型的问题是复数题最可能出现的形式，主要考查对复数运算规律的掌握与应用，当中融汇了数列的求和公式的运用，体现了数学题型的交汇性；也考查了虚数单位的方幂的周期性，对于i2=-1及（a+ai）2=2a2i，我们也要有所重视.
　　二、基本运算型
　　例2 设1，a+bi，b+ai是一等比数列的连续三项，则a，b的值分别为 .
　　解析 由（a+bi）2=b+ai?圯a2-b2=b，2ab=a?圯a=± ，b= .
　　点评 此类问题就是复数的基本运算，谈不上什么技能技巧，只要老老实实运算，就能产生结论.
　　三、基本概念型
　　例3 对于复数z=（1+i）m2-（1+3i）m-2+2i，当m= 时，z是实数;当m= 时，z是虚数;当m= 时，z是纯虚数.
　　解析 由z=（1+i）m2-（1+3i）m-2+2i=（m+1）（m-2）+（m-2）（m-1）i，
　　（1）当（m-2）（m-1）=0?圯m=1或m=2时，z为实数；
　　（2）当（m-2）（m-1）≠0?圯m≠1且m≠2时，z为虚数；
　　（3）当（m+1）（m-2）=0，（m-2）（m-1）≠0?圯m=-1时，z为纯虚数.
　　点评 当复数降低要求之后，高考命题以考查基本概念为主.今年考试说明明确说要考连续型的填空题，那么考此类题就有很大的可能性.
　　四、基本方程型
　　例4 已知关于x，y的方程组（2x-1）+i=y-（3-y）i，（2x+ay）-（4x-y+b）i=9-8i
　　有实数解，则实数a+b= .
　　解析 不妨令x，y为实数，由方程组中的第一个方程得2x-1=y，1=-（3-y）?圯x= ，y=4，将结果代入到第二个方程中去，得5+4a-（10-4+b）i=9-8i.由两复数相等，得5+4a=9，10-4+b=8?圯a=1，b=2，所以a+b=3.
　　点评 复数中的方程问题很多，如实系数的一元二次方程有虚根，及复系数一元二次方程有虚根等都是考生容易出错的问题，因而也是高考命题容易出新之处.
　　五、交汇型
　　例5 已知z1=x2+i ，z2=（x2+a）i对于任意实数x，都有｜z1｜＞｜z2｜恒成立，试求a实数的范围.
　　解析 由｜z1｜＞｜z2｜恒成立，得x4+x2+1＞（x2+a）2恒成立，即（1-2a）x2+（1-a2）＞0对于任意实数恒成立.
　　（1）当1-2a=0，即a= 时，不等式恒成立；
　　（2）当1-2a≠0即a≠ 时，得
　　1-2a＞0，△=0-4（1-2a）（1-a2）＜0?圯-1＜a＜ .
　　综合（1） （2）得实数a的范围为-1＜a≤ .
　　点评 以复数为载体，重在考查其它章节的知识是复数中交汇性命题的一种方式.本题其实是考查二次不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.
　　六、开放型
　　例6 设点P是椭圆 + =1上的任意一点，以|OP|为边长作矩形OPQR（字母按逆时针方向排列）使|OR|=2|OP|，试问：是否存在两定点,使点R到该两定点距离之和为定值，若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
　　解析 由椭圆 + =1,可知a2=9，b2=5?圯c2=4,设点P对应的复数为z，则椭圆的复数方程为|z+2|+|z-2|=6.
　　再设点R对应的复数为z′，由OPQR为矩形且|OR|=2|OP|，得z′=2iz?圯z= .
　　那么| +2|+| -2|=6，即|z′+4i|+|z-4i|=12.显然,对于点R存在两定点（0，-4）与（0，4）使点R到该两定点距离之和为定值12.
　　点评 本题具有开放性，初看此题可能会感觉不知从何下手,但细想椭圆定义，也许思路会立刻产生.本题也可以认为是利用复数求轨迹的典范，它也开辟了求轨迹问题思路空间.
　　七、综合题
　　例7 设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，若| z-m|=5 （m∈R），求z和m的值.
　　解析 设z=x+yi（x，y∈R），由|z|=5，得x2+y2=25.（3+4i）z=（3+4i）（x+yi）=（3x-4y）+（4x+3y）i.又因为（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，所以（3x-4y）+（4x+3y）=0，得y=7x.
　　由y=7x，x2+y2=25?圯x= ，y= 或x=- ，y=- ，
　　即z= + i或z=- - i.
　　当z= + i时，由| z-m|=5 ，即|1+7i-m|=5 ，得m=0或m=2;
　　当z=- - i时，由| z-m|=5 ，即|-1-7i-m|=5 ，得m=0或m=2，
　　故z= + i或z=- - i；m=0或m=2.
　　点评 长期以来复数总是以选择题与填空题的形式与考生见面，有没有以解答题的形式出现呢？由于，高考命题不刻意追求覆盖面.因此，我们也不能绝对排斥解答题.
　　好了，关于复数的命题，这里就说这么多，对你有帮助吗？
　　
　　责任编校徐国坚

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