在问题引导中构建思辨课堂
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摘 要 抽屉原理的教学旨在通过让学生初步经历“数学证明”的过程，渗透一定的数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。为了帮助学生经历抽屉原理的学习过程，笔者基于暴露学生真实的思维入手，借助问题解决，从“总有、至少”的别样理解，到逻辑推理的渗透，以及抽象中经历建模的过程的尝试，可以使教师跳出囿于知识的囹圄，让学生展现出思辨的理性。
关键词 数学思想;问题解决;理性
中图分类号：O331 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）02-0199-02
在教学人教版六年级下册数学广角《抽屉原理》（现称《鸽巢问题》）这个内容时，笔者发现一个有趣的现象：多数学生会凭直觉经验来认识抽屉原理：把4个苹果放进3个抽屉里，有一个抽屉至少放0个才对啊，怎么会是2个呢？教师方面则是通过个别学生的理解试图达到让全体学生领会 “总有一个、至少”的含义。如何有效的整合双方的诉求，达成共识，这引起了我们的思考。
【事实呈现】
片段1：
教师出示问题“把4支笔放入3个杯子，有哪些放法？”让学生用竖线表示支数，把各种摆法画一画。然后学生开始汇报各种摆法，教师做好有序的记录：4 0 0、3 1 0、2 2 0、2 1 1，之后老师让学生观察这4种不同的摆法，问这些摆法有什么共同的特点？学生对老师所提的问题无从下手，经过短暂又尴尬的一段时间的沉默，终于有学生站起来，说出了标准的答案：总有一个杯子至少放了2支笔。抓住这难得的契机，教师便引导学生观察这4种分法，把2、3、4的数字圈一圈，说明每种摆法都至少有2支，完成了结论的验证。
【我们的思考】
在例子中，教师让学生观察4种放法，问这些摆法有什么共同的特点，学生无从下手，这说明在探究时，学生还缺少一条有效的思维线索，把一系列可能的情况归纳为确定的一种情况。因此教师只能把少数同学的表述作为样本强加给全体学生，我们不能否认这种教学方式的合理性，但学生对得出的结论是否真正理解呢？这样的教学，是在教师的完全主导下进行的，学生没有问题的意识，也就没有思考的张力，同时，无视学生已有的认知，割裂了学生已有的知识储备与能力储备。张奠宙教授认为抽屉原理，是一种逻辑推理方法。如果仅仅把抽屉原理当作一种“知识”进行展示，就会陷入抠字眼的囹圄。基于上述认识，我们有了以下的实践。
【我们的实践】
1.课前调查
为了解学生对抽屉原理的认知程度，课前笔者选了六年级一个班做了一个小调查。笔者设计了2个问题：（1）你听说过抽屉原理（鸽笼原理）吗？抽屉原理有什么用？（知道的请写出大致意思，不知道的直接做第2题）;（2）如果任意从班里找出3个小朋友，是否会有2个小朋友的性别相同？为什么？对第一个问题，全班52人，只有3人听说过，接近95%的学生没接触过，不了解;有学生以为抽屉原理是教别人怎么做抽屉的？还有学生认为用抽屉原理可以进行计算。第2题，全班只有2人写了不知道，大部分学生都能作出正确的判断，而且理由是朴素的：因为世界上只有男和女2种性别，第三人就可能是其中的一种;还有学生把4种组合都写出来了，验证了结论的成立。这说明，对于抽屉原理的认识，学生的生活经验可以提供足够的支撑，抽屉原理难点在理解“总有、至少”的表述。
2.课堂实践
我们在借鉴他人经验的基础上进行了实践，意图通过数学活动的形式，以问题解决的思路引领整个探究过程。主要过程简述如下：
问题：把4个苹果放到3个抽屉里，会不会有一个抽屉里至少有2个苹果呢？
方法提示：可以以小组的形式进行探讨，如每四人为一组，利用画一画、写一写，充分展现你们的智慧，看看最终你们的排列方案，很快A组进行汇报：把4个苹果全部放进一个抽屉，老师用数字进行记录：400、040、004，此时B组提出观点：这3种放法其实都是一个意思，就是有一个抽屉里放了4个苹果。教师进行讲评：我们不能确定这4个苹果放在了哪个抽屉，但总有一个抽屉放了4个苹果。所以，我们可以不用考虑抽屉的顺序。根据学生摆的情况，教师演示并板书剩余的3种放法：3 1 0、2 2 0、2 1 1;C组进行质疑，在2 1 1里，有一个抽屉放了1苹果，怎么能说至少有2个苹果呢？B组回答：可第一个抽屉放了2个苹果了啊，我们只要找到有一个抽屉放2个苹果就可以说明问题了……
教师结论：你们的观察角度真准。看来不管怎么放，总有一个抽屉里，它苹果是最多的，可能是2个、3个、4个，这句话还可以说总有一个抽屉里至少放2个苹果。
抽屉原理中“至少”的理解，它不同于一般语境中的含义，是一种在“最多”中找“至少”的全新思维方式，因而弄清其含义对小学生来说是有难度的。通过直观操作，在明理的过程中，学生强烈的体会到总有一个抽屉放了苹果，但不确定是放在哪个抽屉里，这其实就是对“总有一个抽屉”最朴素的理解。同时，在理解“至少”时，从每种放法里苹果最多的抽屉来作观察，引导学生在“最多”中找“至少”。学生因观点交流而产生思维的碰撞，在不断的交锋中慢慢达成了对文本的理解。
【我们的反思】
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，并体会一些数学的基本思想，获得数学活动经验”。“尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题，尝试评价不同方法之间的差异。”正是在这样的背景下，我们选择了以“问题解决”作为学生探索抽屉原理的思路，着重体现数学思想方法。
一、在“最多”中达成“至少”的共识
在抽屉原理中，“总有一个”，“至少”等关键词的解读和为了达到“至少”而进行平均分的思路;以及把什么看成苹果，把什么看成抽屉，这样一个数学模型的建立，学生学得颇具困难。因此，重构后的课堂教学从问题解决入手，在探索抽屉原理的起始阶段，设计了这样一个活动：把4个苹果放到3个抽屉里，会不会有一个抽屉里至少有2个苹果呢？让孩子们用枚举法验证。枚举法的好处在于很直观，可以清楚的看出各种情况是否符合结论。通过直观操作，抽象列举，经历在“最多”中找“至少”的过程，引导学生用准确的数学语言来表达，这样的设计有效降低了教学难点，化解了老师把一个学生的标准答案当做了全体学生的共识这样一种尴尬，较好的使学生理解了“至少”的含义。
二、在活动中感受理性的张力
张奠宙教授指出，抽屉原理一课，应该重在逻辑推理论证。教给学生论证的方法，把个别学生的好的推理方法内化到大多数学生身上。因此，当学生用最不利原则来论证结论时，教师要切中要害：最不利的情况是211，那么最有利的情况是什么？集中在一个抽屉里是最有利的情况，那么把苹果分的最散就是最不利的情况，这时需要引入平均分。当活动从4个苹果放到3个抽屉里，再到5个苹果放到4个抽屉里，最后拓展到102个苹果放到100个抽屉里，如果用枚举法，呈现的情况可以是成千上万的，根本无法摆完全，但是，运用抽象的演绎推理可以得出绝对肯定的结论。抽屉原理是纯粹的存在性定理，只知其中有一个抽屉里至少有2个苹果，却不知道究竟是哪一个抽屉。也只知道某抽屉里的苹果数至少是2，却不能肯定究竟是几个？也许102个苹果都放在某一个抽屉里呢！这个看起来无法回答的问题，却给出了绝对正确的答案。理性的力量令人震撼。积累这样的数学活动经验，并将之内化为一种数学思想方法，学生将终身受用。
三、在抽象中经历建模的过程
通过枚举摆法来逐一验证，应该是证明抽屉原理最为形象也最易让学生理解的一个方法。但这种方法也有一定的局限性，当涉及到的数据偏大时，通过列举就显得非常烦琐。所以，这里除了验证之外，还要引导学生进行深入的观察与分析，找到那种分得最平均或者是最趋向于平均的分法来说明“总有一个盘子至少有2个苹果”，以进一步优化验证的方法。通过进一步的观察与分析，让学生逐步过体验到，通过枚举最趋向于平均的摆法来证明是一种更加简便的方法。当学生能够理解并掌握用最趋向于平均的摆法来解释与验证抽屉原理应该是学生数学思维的一次质的提升;通过进一步的教学，让学生自主发现用除法算式来解决抽屉问题，应该是学生对抽屉原理的更为抽象更为数学化的理解。当然，这是一种更为简便的解释，在以后解决类似问题时更具适用性。这一路的探索，层层递进，从枚举法慢慢过渡到用逻辑推理来验证结论，学生的思维得到了提升。同时，也归纳出了抽屉原理的一般结论，完成了建模的过程。
参考文献：
[1]张奠宙.按“四基”要求编写教材——以“抽屉原理”為例[J].教学月刊小学版（数学），2014（10）.
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