运用“基本图形”提高几何解题能力的策略探究

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　　摘要：在中考中几何的证明与计算一直考查学生数学综合解题能力一种重要题型，而我们的学生普遍存在几何解题能力薄弱，几何解题思路形成障碍，教师教学忽视对学生几何解题思路的有效指导等问题。我们知道研究几何的重要方法就是研究几何的基本图形，本课题基于教师在平时几何教学中，通过对基本图形和性质的归纳总结，引导学生从复杂几何图形中分离并提取基本图形，最后利用基本图形来解决较为复杂的几何问题，从而提高学生的几何解题能力和几何思维能力。
　　关键词：基本图形;解题;探究
　　本文作者从以下方面展开对几何基本图形的研究：
　　一、 基本图形的归纳和总结是有效提高几何解题能力的前提
　　（一）通过概念定理教学，引导学生归纳提炼基本图形
　　教师在几何概念、定理、性质教学中，要引导学生有意的归纳和总结与核心几何知识紧密相关的定理型基本图形，充分建立起基本图形和性质定理的关联。在学生掌握基本图形的同时，加深了对几何知识的直观理解，也培养了学生的反思习惯和归纳能力。
　　①定义型基本图形——加深概念理解
　　【举例1】学习七下1.2同位角、内错角和同旁内角概念时，总结三种基本图形。（如图1）
　　
　　第一种：同位角（F型）;第二种：内错角（Z型）;第三种：同旁内角（U型）;
　　通过把概念转化为基本图形，让学生加深理解，再做复杂图形中找角的练习，就可以转化为找相应的基本图形，可以快速准确地找到。
　　【举例2】学习九上4.3相似三角形概念时，归纳六种基本图形。（如图2）
　　通过总结归纳六种相似三角形的基本图形，可以加深学生对于图形中边和角的对应关系，学生可以在一些复杂的相似三角形图形中快速准确地找到相似三角形。
　　②定理型基本图形——促进性质理解
　　在几何教学中，把课本核心的定理以基本图形的形式体现出来，让学生以直观的几何图形来掌握定理，让文字语言、图形语言和符号语言有机结合。加深学生对于定理的理解，促进学生对于定理的记忆。
　　【举例3】学习九上3.3垂径定理和3.4圆心角定理时，总结出基本图形，加深直观理解。（如图3）
　　通过总结基本图形，不仅能够使学生知道垂径定理和圆心角定理的内容，同时也能使学生对于该定理的推理过程有直观显性的理解载体，由基本图形构建知识网络，提高学习的效率，锻炼学生几何思维能力。
　　【举例4】学习九下2.2切线长定理时，总结出基本图形。（如图4）
　　通过总结基本图形，不仅能够使学生知道切线长定理的内容，更能使学生知道和理解该定理的证明过程，以及由此基本图形推导得出其他结论。
　　教师在几何教学中，要重视在教学核心基本定理时，引导学生总结归纳相应的基本图形，用几何语言来表述定理，渗透这种理解、記忆几何定理的方法，提高学生解决几何问题的能力。
　　（二）通过典例组图教学，促使学生构造积累基本图形
　　①典例型基本图形——简化思维过程
　　在几何教学中，把教材及教学用书中经常出现地能反映核心知识的例题、重要结论所蕴含的图形进行归纳提炼积累，在解决几何问题中可以帮助简化思考过程，快速形成解题思路。
　　【举例5】学习九上4.5相似三角形的性质及应用（3）作业题5：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高线AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。求加工成的正方形零件的边长。（如图5）
　　这个基本图形用到相似三角形对应边上的高之比等于相似比的性质，图形比较典型，涉及的知识也是相似三角形的重要性质，学生熟练掌握这个图形与性质，能够简化解决类似几何问题的思考过程。
　　【举例6】在研究核心几何问题时，经常出现（如图6）所示的典型图形，所涉及的知识点也是几何的核心知识点。通过这类典型性几何基本图形的研究，可以使学生的解题形成典型性思维块。
　　如图6.1，结论是EF=BE+DF;它的证明方法具有典型性，需要旋转变化、分散线段集中以及全等三角形的知识或者截长补短的辅助线添法。
　　如图6.2，三等直角基本图形，形成左右两个相似三角形，得到成比例线段，此图应用非常广泛。
　　②组合型基本图形——深化知识联系
　　结合教材中出现的习题，以及有些常见的基本图形不是单一型的，而是由若干个定理型基本图形组合而成的，通过这些常见的组合型基本图形的研究和提炼，不仅可以简化学生的解题思路，而且可以加强知识之间的联系。
　　【举例7】将若干个简单常见的概念定理型基本图形结合在一起，形成一系列组合型基本图形库，举例如图7。
　　如图7.1，是一个常见的组合型基本图形，主要涉及平行线和角平分线的组合，得到等腰△ADE。
　　如图7.2，也是一个非常广泛的组合型基本图形，涉及等边三角形和全等三角形。
　　如图7.3，条件是任意三角形两条高线，并连接两个垂足所形成的基本图形，本图是相似三角形“斜A型”和“斜X型”的组合图形，共有8对相似三角形，很多几何问题经常涉及此图形。
　　（三）通过变式拓展教学，促进学生透彻理解基本图形
　　通过基本图形的变式拓展学习，能使学生加深对基本图形和性质的灵活应用，既让学生经历体会到从“特殊到一般”的数学思想，又充分培养学生的几何探究能力，另外运用变式训练可以有效提高基本图形的利用，有效培养学生的综合思考能力，让学生体会到形式改变，本质不变的探究方法。
　　【举例8】将图7.2的基本图形，改变条件，绕点B进行旋转任意角度，仍旧可以得到△ABE≌△CBD（如图8.1） 　　
　　变式1：将两个有公共顶点的等边三角形变成两个有公共顶点的等腰直角三角形（直角顶点为公共顶点）仍旧可以得到△ABE≌△CBD（如图8.2，8.3）
　　变式2：将两个三角形变成两个顶角相等的有公共顶点额等腰三角形（顶角为公共顶点），仍旧可以得到△ABE≌△CBD（如图8.4）
　　通过对基本图形进行变式拓展研究，让学生在进一步加深对基本图形的认识的同时，又促使学生发现基本图形所反映的性质的本质属性，提炼出最本质的基本图形（图8.4），完善了核心图形。
　　【举例9】将图6.1的基本图形，改变条件，将正方形改成等腰直角三角形其他条件不变，（如图9.1），线段BM、MN、NC之间的关系发生了改变，变成了BM2+CN2=MN2，证明思路仍旧是利用旋转变换，把三条线段集中在一个三角形中。（如图9.2）
　　
　　变式1：将正方形ABCD改成：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°。E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°。探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系。（如图9.3）
　　类似旋转变换方法，仍旧可以得到EF=BE+DF。
　　变式2：进一步改变条件：如图9.4，只满足AB=AD，∠B+∠D=180°。且∠EAF=12∠BAD，三个条件。上述结论EF=BE+DF是否仍旧成立？通过旋转变换仍旧可以证明结论成立。
　　通过两个变式，把基本图形6.1所满足的条件进行了一般化，只要满足变式2的三个条件，就可以得到结论成立。
　　在利用基本图形提高几何解题能力中，通过对基本图形变式拓展研究，培养学生透彻理解图形本质特征，提炼基本图形要满足的本质条件，帮助学生利用较少时间，解决典型变式，有效提高几何问题的解决能力和几何思维能力。
　　二、 基本图形的提取和运用是有效提高几何解题能力的方法
　　（一）通过简单显性图形教学，培养学生快速提取基本图形能力
　　有些简单的几何图形，非常容易就可以发现蕴含着的基本图形，那么就要求学生能够快速准确地找出基本图形，并形成解题思路。此类问题面向不同层次学生都可以掌握。
　　【举例10】如前面所述：2013年杭州市中考题
　　根据题目中的条件，并观察图形，我们可以快速地发现“三等角”基本图形（如图10），从而得到△APE∽△CFP，迅速解决前面两个小题。
　　
　　（二）通过复杂显性图形教学，培养学生分解提炼基本图形能力
　　有些较为复杂的几何问题，由于图形较为复杂，不容易直接提炼出基本图形，这时要重现图形的产生过程，抓住重要核心条件，并根据重要条件进行分解、联想最后提炼出若干个基本图形。
　　【举例11】2014年杭州市中考题
　　已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD，BC上，若点E与点B关于AC对称，点E、F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（）
　　
　　A. 1+tan∠ADB=2
　　B. 2BC=5CF
　　C. ∠AEB+22°=∠DEF
　　D. 4cos∠AGB=6
　　根據题目中的条件和图形，我们可以分解并提炼出基本图形“同侧公共边解Rt△”（如图11），从而通过解两个Rt△，快速形成解题思路。
　　
　　（三）通过局部隐性图形教学，培养学生尝试构造基本图形能力
　　有些几何问题，图形中没有非常明显的基本图形，只有局部图形，这时要通过挖掘图中的重要（核心）条件，进行熟练尝试和比照相关的基本图形，通过添加辅助线来构造熟悉的基本图形，从而形成解题思路。
　　【举例12】2014年拱墅区九年级中考模拟试卷
　　如图12，已知第一象限内的点A在反比例函数 y=1x上，第二象限的点B在反比例函数y=kx上，且OA⊥OB，sinA=33，则k的值为（）
　　
　　如图12，根据通过重要条件直角，通过添垂线，构造“三等直角”基本图形，马上形成解题思路。
　　【举例13】2014年拱墅区九年级中考模拟试卷
　　如图13.1，在直角坐标系中，点P（3，3），两坐标轴的正半轴上有M、N两点，且∠MPN=45°，则△MON的周长等于。
　　如图13.2，根据条件45°，尝试构造如图6.1基本图形，迅速得到此图结论MN=EM+FN。
　　【举例14】2009年杭州中考
　　如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）
　　A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°
　　本题涉及的图形是一个局部的隐性图形，要形成解题思考，关键是抓住本题的核心条件：中点和垂直，联系基本图形，添加辅助线，构造基本图形。（如图14.3，全等三角形基本图形，如图14.4，直角三角形斜边上中线基本图形）。
　　综上，运用基本图形寻找几何解题思路，提高学生几何解题能力是一种有效的方法，为学生的几何解题提供了一种思维方式，让学生体会到解决几何问题时有规律和方法可循的。
　　本文笔者通过分析学生几何解题存在问题的原因，提出了培养学生运用“基本图形”提高几何解题能力的课题。研究了根据几何基本图形的分类运用多种教学形式进行归纳和总结的策略：基本图形解题和思路、基本图形的归纳和总结、基本图形的提取和运用。以此来激发学生学习几何的兴趣，获得几何问题解题思路形成的经验，提高较为复杂的几何问题的解题能力、问题分析能力、逻辑推理能力。
　　参考文献：
　　[1]林冬玲.重视基本图形教学提高学生几何学习的有效性[J].中学数学研究，2015（10）.
　　[2]柯伟贤.提炼基本图形妙解几何命题[J].中学数学研究，2015（8）.
　　[3]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
　　作者简介：
　　孙立刚，浙江省杭州市，浙江省杭州市萧山区新桐初级中学。
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