运用数学思想 提高解题能力
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[摘 要]在《数列》教学中渗透方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，引导学生运用数学思想解题，能提高学生的解题准确率、效率，能提升学生的解题能力.
[关键词]数学思想; 解题能力;高中数学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2019）08-0016-02
《数列》是高中数学教学的重点，这不仅体现在高考所占的分值比例中，更体现在实际运用中.为此，教师要重视《数列》教学，带领学生挖掘内涵思想，以此探究解决问题的方法.
一、方程思想——寻找关系，求解未知量
在高中数学中，方程与数列关系十分密切，一般情况下数量问题都可借助方程解决.要达到这一目标，就需要学生对方程概念有本质的理解，能够深入分析，并灵活转换.
方程思想是动中求静，在数列题目中的运用很常见.在借助方程组求解未知量的过程中，要求学生能灵活转换[a1、n、q、an、d、Sn]几个量，并且在实际求解过程中，要充分运用方程性质求解，以此求出未知量，促进问题解决.
例如，已知等差数列[an]与等比数列[bn]的前[n]项和分别是[Sn]和[Tn]，并且满足[a2=b3=12]，[a5=b4=18].（1）求数列[an]与[bn]的通项公式;（2）求解[T5]的值;（3）如果[Sn=190]，求[n]的值.
对于这一问题，学生乍一看会觉得很难.其实只要稍稍启发，引导其寻找等差、等比数列之间的对应关系，就可借助方程解决.
二、函数思想——灵活转化，分析解析式
简单来说，“函数思想”是解决“数学型问题”的一种思维策略，将其运用到数列教学中，限定了范围，即“定义域为正整数的函数”，由此便将“无限”变为“有限”.对此，可结合具体问题截取一段函数展开研究，以此促进问题解决.
将数列置于函数层面上研究是解题的重要方法，画图像大多不再是直线，而是一系列离散的点，这就是通项公式相对应的函数解析式.对此，要引导学生用函数的概念和性质去分析问题、转换问题以及解决问题，以此厘清数列中的关系.其中，等差数列对应的是一次函数，等比数列对应的是指数函数，等差数列前[n]项和是关于[n]的二次函数，且常数项为0.由此，便能揭开数列神秘的“面纱”，加强函数与数列的一一对应关系，帮助学生明确探究方向，减少思考与解题的难度.在教学《等差数列通项公式》中，强调等差数列[an=2n-1]是关于[n]的一次式，由图1可看出这个数列的点都均匀分布在直线[y=2x-1]上，这表明等差数列是特殊的一次函数.在这一环节，学生由于认知上的差异，对于这一转化不能马上理解，对此教师就要耐心引导，紧扣要点促进理解，以此激发学生，让其在数学课堂上获得相应发展，实现能力提升.
在教学中，可引导学生观察图像.学生通过观察图像，不难发现数列与函数区别在于：数列是离散的，函数是连续的.由此就可迁移思考，让学生深刻意识到数列具有函数的一般性质，在解题中可充分运用，以此促进问题解决，促进自身思维能力提升.
三、数形结合思想——直观思考，画图促分析
“数”与“形”是数学中的两个最古老、最基本的研究对象，在一定条件下可相互转化，运用十分广泛.将这一思想运用到数列问题中，就可借助几何图形代替代数处理，以此直观反映数量关系，在数字与图形的结合中寻找解题思路，以此简化过程.
例如，设[an=-n2+10n+11]，那么数列[an]从首项到哪一项的和最大？
这一问题，在讲解过程中，可先让学生独立思考、小组交流，以此促进学生思维发散.在汇报中，学生会谈及数形结合思想，教师将其作为一种方法拓展讲解.方法明确之后，不要急于求解，先要带领学生梳理，让其先画图后分析.根据数列[an]是二次函数[f（x）=-x2+10x+11]上的离散点，可发现数列前10项都是整数，第11项是0，之后一直是负数，并且单调递减.通过这样的分析，学生不难看出前10项或前11项的和最大.在这一环节中，少部分学生可能存在理解困难，这时就可邀请學生板演具化过程，以此促进理解，让学生在互助学习中加深对课堂内容的理解.如果条件允许或者学生需要，可在探究环节开展交流，或者实施“一对一帮扶”，让学生在互助交流中加深对内容的理解，以此体会数形结合思想的优势.长此以往，不仅能激发学生的探究兴趣，还能最大限度地驱动学生，让其在良好氛围中积极交流，主动思考，以此落实教学目标，让课堂教学达到预期效果.
四、分类讨论思想——限定范围，确保不重复
有关数学结论，都有其对应的条件.每一种数学方法在使用时也有范围.因此，学生在解题中，经常会发现有些问题的结论不是唯一确定的.对此，就不能用统一的形式研究，而要尝试在对应的范围下分析，以此确保标准统一，结论不重复、不遗漏.
将这一思想运用到数列问题中，就可将大问题转化为小问题解决，根据不同情况分类，以此逐个解决.以等差数列为例，就可根据公差[d]的正负情况分成递增数列、常数列以及递减数列，同理等比数列也可这样分类：
（1）若[a1>0，q>1]或者[a1<0，0<q<1]，那么数列就是递增数列;
（2）若[a1>0，0<q<1]或者[a1<0，q>1]，那么数列为递减数列;
（3）若[q=1]，那么数列为常数列;
（4）若[q<1]，那么数列为摆动数列.
问题呈现之后，要给学生提供充足的探究空间，让其在独立思考中吸收、消化，之后围绕分类在小组里讨论.如果学生出现分歧，要及时引导，在关键处点拨，以此激发学生，让其沿着正确思路分析，逐步得出结论.需要注意的是，这一分类对学生思维要求较高，学困生可能会出现不理解的情况，对此就要耐心引导，循序渐进，以此促进理解.在实际教学中，在这些关键环节，如果单一讲解无法促进理解，就要尝试鼓励学生自行组织语言概括，以此相互启发，就能让教学达到预期效果.这样一来，学生就能根据不同情况，灵活分析问题情境，结合问题展开思考.这样处理，不仅能培养学生思维的严密性，还能提升学生思维的逻辑性，促进问题有效解决，提高课堂教学效率.
在高中数学体系中，函数的重要性不言而喻，既是重点也是难点，与其相关的数学思想很多，教师在教学过程中都要积极渗透，让学生掌握相应技巧与方法，以此提高解题效率.
（责任编辑 黄桂坚）
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