线性方程组求解及应用
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作者:石擎天 黄坤阳
摘要：文章首先介绍了用克拉默法则求解一类线性方程组（方程的个数与未知量个数相同且系数行列式不为零），由此提出对于一般的线性方程组如何求解问题.从而引出用矩阵的秩来判定线性方程组的解的结构以及用初等变换来求线性方程组的通解.最后应用线性方程组的求解问题对矩阵方程和向量组的线性相关性进行分析.
关键词：线性方程组;克拉默法则;初等变换;矩阵方程
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2020）12-0325-03
一、引言
线性方程组的求解问题在科学技术与经济管理领域有着广泛的应用[1].线性规划问题，某些工程问题，经济问题[2-4]等都可转化成线性方程组求解问题.而且线性方程组求解是线性代数中一大重难点，所以本文围绕着线性方程组求解问题进行梳理，希望对这部分内容的教和学起到辅助作用.首先，介绍相关符号和概念如下.
易知齐次线性方程组一定有解，即零解必为它的一个解，所以求解齐次线性方程组实际上是探究其是否有非零解.而非齐次线性方程组的求解则更加复杂，因为一个线性方程组的解可能是无解，唯一解，无穷多个解，所以在求解非齐次线性方程组时需先对其解进行判定再探究其解的结构.
接下来，我们将对线性方程组求解问题进行探讨.先考虑特殊情形，即方程个数与未知元个数相同，也就是，此时用克拉默法则可对某些方程组进行求解.对于不能求解部分和时的线性方程组将通过初等变换或消去法进行求解.具体可分别参见第2节和第3节内容.第4节中我们将应用线性方程组求解来研究矩阵方程的求解和向量组的线性相关性的判定问题上.
二、克拉默法则求解线性方程组
三、初等变换法求解线性方程组
（1）式中线性方程组用矩阵等价表示为Ax=b，（4）
其中A为系数矩阵，x为未知元向量，b为常数列b.
注意到（1）式与（4）式相互等价，即线性方程组与（4）式中矩阵方程一一对应.
结合消去法的思想和初等行变换保持解的不变性可得，对（1）式中线性方程组进行有限次初等变换等价于对（4）式中增广矩阵B=（A，b）进行初等行变换化成行最简形矩阵B′，其中
基于定理2中对线性方程组的解的判定结果，我们可以结合矩阵所对应的线性方程组容易得到其通解.根据初等变换前后保持线性方程组解向量不变的事实，所以当线性方程组（4）式有解时B′所对应的线性方程组的通解即为原线性方程组（1）式或（4）式的通解（即所有解向量的全体）.那么通解如何表示呢？
通解的表示与解向量组的线性表示密切相关.由向量组的线性表示可知，找到向量组中极大线性无关组是核心.對于线性方程组（4）式而言，其通解中极大线性无关组即为基础解系.若对线性方程组（1）式中某些未知量及其系数交换顺序，则对应的矩阵方程Ax=b的增广矩阵通过有限次初等行变换化成如下行最简形
上述求解线性方程组（4）式得到通解如（7）式的过程中没有按照线性代数书中传统思路：分齐次和非齐次线性方程组分别求解;齐次线性方程组的通解即为一个基础解系中向量组的所有线性组合，而非齐次线性方程组则是其一特解与其对应齐次方程组的通解的和构成这种用统一的公式表示，方便学生学习时不容易混淆齐次与非齐次线性方程解的结构差异.
四、线性方程组求解的应用
线性方程组求解问题在大量科学计算和数学学科中都有广泛应用，这里我们立足线性代数这门课程的知识体系对其在矩阵方程和向量组的线性相关性这两方面的应用进行梳理.
（一）矩阵方程的求解
对于n阶方阵A或B，关于未知量矩阵X的三种矩阵方程为AX=B，XA=B和AXB=C.当采用可逆矩阵法来求解这些矩阵方程时，矩阵方程有解的必要条件是矩阵A，B和A，B分别可逆.那么当矩阵A不是方阵或不是可逆方阵时，三种矩阵方程如何求解呢？下面将以
参考文献：
[1]同济大学数学系.线性代数[J].第6版.北京：高等教育出版社，2014.
[2]潘杰，汪泉.齐次线性方程组有非零解条件的应用[J].大学数学，2005，（03）：70-73.
[3]彭朝英.高斯消元法的改进及其在工程上的应用[J].邵阳学院学报（自然科学版），2011，8（02）：26-30.
[4]张圣梅.线性代数方法在初等数学中的应用[J].数学通讯.2007，46（10）：56-57.
[5]戴立辉，林大华，吴霖芳，陈翔.线性代数教程[M].同济大学出版社，2018.
[6]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
[7]丁黎明，赵冬.高等数学教学中线性方程组的解法分析[J].教育教学论坛.2018，（40）：223-224.
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