浅谈高中数学运算求解能力的组成
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摘 要：在数学解题实践中严把审题关，思维方向正确，运算准确是解题成功的关键，其中运算求解能力贯彻解题的始终，运算求解注意运算的组成与合成，注重挖掘隐藏信息提供有效运算，选择合理公式、法则和算理进行正确运算。
关键词：为合理与有效运算善于挖掘信息;知识迁移使用;选择方法;估值计算
数学运算是数学核心素养之一，在数学抽象、逻辑推理、数学建模和数据分析中都涉及数学运算。运算求解能力是运用定义、法则、公式进行链接演算的一项基础能力，运算注意分解分步环节，并与思维和算法算理有机结合，专注运算的分解与正确计算结合。怎样才能减少和避免因运算的丢分？本文就运算求解能力的组成谈几点看法。
一、 挖掘题目隐藏信息合理运算求解
量化已知条件，挖掘题中的隐藏条件，观察图形的具体特征，抓住问题所需找到运算求解的方向，结合代数和平面几何的关系捕捉到简化运算的关键点。
个案1：（多项选择题）已知F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦点，且|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内心，过原点O作PI的平行线交PF1于点K，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，则下列结论正确的有（）
A. λ=5-12
B. λ=5+12
C. 点I的横坐标为a
D. PK=a
挖掘信息1. 由|F1F2|=2b2a=2c通过运算变形化归转化为解方程e2-e-1=0运算得
e=5+12。
挖掘信息2. 从选项A，B联想到λ与离心率e有关，量化信息2：S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，
设内切圆的半径为r，选择三角形面积公式运算可得
12|PF1|·r=12|PF2|·r+λ·12|F1F2|·r，则有|PF1|-|PF2|=λ·2c=2a，故
λ=ac=1e=5-12，故A，B错。
挖掘信息3. 设内切圆I与PF1、PF2、F1F2相切于点E、G、D，结合圆的性质，由双曲线的定义求解运算可推出|PF1|-|PF2|=|DF1|-|DF2|，从而有2a=2xD，故点I的横坐标为a，C正确。
挖掘信息4. I为△PF1F2的内心，延长PI交F1F2于点M，由三角形内角平分线性质有
|PF1||PF2|=|F1M||F2M|=|F1M|2|OF1|-|F1M|，变形运算可得|F1M|=2|OF1|·|PF1||PF1|+|PF2| ①。
挖掘信息5. PI∥OK，|F1K||PF1|=|OF1||F1M|=|PF1|-|PK||PF1|②，把①代入②运算化简得
|PF1|-|PK|=12（|PF1|+|PF2|），即|PK|=12（|PF1|-|PF2|）=a，D正确，答案选
ACD。
多项选择题是新高考数学改革的必考题，这对教师平时的运算教学上升到一个新的高度。本题通过双曲线的几何性质找到运算求解离心率的途径，信息2，3平面几何圆的性质和双曲线的定义通过变形运算捕捉到λ与e的关系，再通过运算求解出点I的横坐标，为了求出
PK=a，需要深层次挖掘出隐藏条件，在运用内角平分线性质和双曲线定义运算求解中进行了深度的变形运算，突出对运算组成的化归、分解，本题体现代数恒等变形、平面几何有关性质、圆锥曲线的定义和几何性质，通过对问题目标的综合运算，既考查了思维的深度同时也考查了运算的宽度，在整个破解过程中展示运算算理和符号运算，在化归转化中运用所学知识合理控制计算量，优化解决问题。
从个案1我们看到对题目已知信息的量化和挖掘能力是运算求解能力的一个重要组成部分。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等，运算求解能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在實施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。
二、 定义、公式、法则和定理的运用能力
运算，是指依照数学法则，求出一个算题或一个算式的结果，数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量，计算同样一个算题时所选用的依据可能不同，这就造成了运算过程的繁简程度不同，依据指的就是数学中的定义、公式、法则和定理。
个案2：若2x=3y，则xy=。
解：本题考查对数的运算，所求为用代数式表示对数。
解法1：设2x=3y=t，则x=log2t，y=log3t。
∴xy=log2tlog3t=1log3t1log2t=logt3logt2=log23。
解法2：∵2x=3y，则log22x=log23y，
∴xlog22=ylog23，∴xy=log23。
解法2抓住题目所求的目标，在对数有意义的前提下应用运算性质两边取以2为底的对数，根据不同的问题选择公式的正用或逆用，直接导出结果，快捷找到运算的途径和方法。 三、 运算方法的选择能力
运算方法的选择要科学有效，代数问题几何化运算，几何问题坐标化运算，代数与几何数形结合运算等都是选择的方向，正确的选择为快速准确求解运算指明方向。
个案3：已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）
图1
图2
A. 32
B. 155
C. 105
D. 33
解法：将直三棱柱ABCA1B1C1补形成直四棱柱ABCDA1B1C1D1（如图2），连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，则∠B1AD1为异面直线AB1与BC1所成的角（或其补角），易求得AB1=5，BC1=AD1=2，B1D1=
3，由余弦定理得cos∠B1AD1=105。
解法的运算求解方法采取几何法中补形平移转化法求异面直线所成角，利用余弦定理破解。可见方法选择的不同，运算量的大小也不一样。在个案3对问题的运算求解中，凸显在坐标法和几何法的选择上，代数与几何相结合运算，立体几何中平面几何知识和正余弦定理的使用对运算求解的效果也存在差异，解法运算的时间长度小，达到了优化运算的目的。
四、 数学思想和方法的运用能力
数学思想包括数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化思想等，数学方法包括待定系数法、换元法、反证法、分离变量法等基本方法，这些数学思想和方法的运用能力也是运算能力的一个重要组成部分。
个案4 （多项选择题）下列命题为真命题是（）
A. ln3<3ln2
B. lnπ<πe
C. 215<15
D. 3eln2<42
解：分析一：从选项看背景是有关对数、指数、根式的大小比较问题，高考不能使用计算器，因此估值运算行不通，探究四个选项从A入手，利用对数的运算法则变形可得ln33<ln22，由不等式左右的结构特点，很容易联想到运用构造函数法解题。
分析二：设函数f（x）=lnxx，利用函数导数知识可知f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，A即为f（3）<f（2），因为0<3<2<e，A正确。
分析三：B可变形为lnππ<lnee，即f（π）<f（e），因为e>π>e>0，B错。
分析四：注意到函数f（x）解析式的结构特点，由y=lnx为递增函数，将指数式转化为对数式，等价于证明15ln2<ln15成立，运算变形ln1515>ln22=ln44=ln1616得
f（15）>f（16），e<15<16，f（x）在（e，+∞）上单调递减，C正确，D可化为ln88<lnee，即f（8）<f（e），D也正确，所以本题多项选择题答案是ACD。
比较对数、指数、根式的大小关系，本题解题的关键是构造出函数f（x），为了构造出函数必须将选项不等式进行运算变形，充分运用对数运算法则公式logaMn=nlogaM进行正用和逆用即可达到目的。
运用函数导数知识可求出f（x）的单调性与极值（如图）。
本题的运算变形渗透了化归与转化思想，在运算中蕴含思维分析，在运算中运用函数性质进行不等式化归转化，可见数学思想和方法的运用能力也是运算能力的一个重要組成部分。
从上面的个案分析，运算的合理性是运算求解能力的核心，运算的合理性体现对题目信息点的挖掘，体现在思维方法的选择上，体现在数学思想与方法的运用上，运算在数学概念、公式以及二级结论的迁移使用上也是关键，对数的运算、式的运算的考查注意代数问题几何化，运算过程与思维过程交汇进行，数学运算离不开思维，运算过程包含着思维过程。运算的成功是知识与能力的掌握，在平时教学中注重知识结构的构建和网络化，课堂注重讲练结合，精讲精练，突出运算的精髓，培养学生数学运算的核心素养，把运算求解能力贯穿于整个教与学的过程中，通过课堂、练习、测试等反思运算的全程，提升学生掌握运算过程中所用的知识、方法和数学思想，进一步有效地用来解决数学综合运算问题。
参考文献：
[1]陈丙妹.数学教学中如何培养学生自主探索能力.中学教学参考，2011（107）.
作者简介：张建平，福建省龙岩市，福建省连城县第一中学。
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