函数极限的几种求解方法

来源:用户上传      作者:

　　摘要：函数极限是极限的一个重要内容，求函数极限的方法多种多样，本文主要通过例题来阐述了几种求函数极限的方法。求极限的方法不可能全部列举出来，希望通过这几种求解方法的介绍展现极限思想的本质。
　　关键词：函数极限;四则运算法则;洛必达法则
　　中图分类号：TP393 文献标识码：A
　　文章编号：1009-3044（2019）35-0247-02
　　极限是数学中一个非常重要的概念，广义上的极限是指无限接近而永远无法到达，数学中的极限是指某一个变量在变化的过程中，逐渐逼近某一个确定的数值，但是永远不能等于这个数值。数学中的极限一般分为数列极限和函数极限，本文主要介绍函数极限及其求法。
　　1 函数极限的定义
　　设函数f（x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f（x）都满足不等式：f（x）-A|<ε。那么常数A就叫作函数f（x）当x→x0时的极限，记作lim f（x）=A。
　　2 求函數极限的方法
　　2.1利用连续性求极限
　　设函数f（x）在某u（x0）内有定义，如果lim f（x）=f（x0）.则称f（x）在x0连续。反之，如果要求lim f（x），可以由以上等式直接求f（x）在x0处的函数值就可以。
　　例1求lim（3x2-x+ 7）.
　　解：由初等函数的连续性，将1直接代人函数中有意义，所以：
　　原式=3x1 2-1+7 =9.
　　2.2消公因子法求极限
　　有些具有分数结构的函数用上面的代入法可能会出现分子或分母为零的情况，使得原函数没有意义，所以无法直接代入求极限。
　　2.3利用无穷大无穷小的关系求极限
　　无穷大量和无穷小量的定义：如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时的极限为零，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷小量;如果函数f（x）当x→x0（或x→∞）时对应的f（x）无限增大，则称函数f（x）为x→x0（或x→∞）时的无穷大量。
　　这里是利用无穷大量无穷小量的倒数关系求极限。
　　2.4分子分母降幂法求极限
　　在某些函数极限求解过程中，可以通过分子分母同时除以最高次幂来求极限。
　　该题目中分子分母的最高次幂是x3，同时除以x3然后求极限可知分子分母的后两项极限为零，由此我们得到其极限值。
　　当a0≠0，b0≠0，m和n为非负整数时，有
　　2.5利用两个重要极限求极限
　　首先介绍一下两个重要极限，我们通过几个例题来看一下如何利用重要极限求解极限。
　　我们可以看到在求极限的过程中，有的式子并不能直接利用重要极限的公式，需要进行一定程度的变形，在变形的过程中要注意保持原式的恒等性，灵活变换。
　　2.6利用四则运算法则求极限
　　极限的四则运算法则如下：如果limf（x）=A，limg（x）=B，则
　　2.7利用洛必达法则求极限
　　洛必达法则有两种，0/0型和∞/∞型，即分子分母同时是无穷小或同为无穷大，这种情况极限可能存在也可能不存在，称为未定式。
　　若函数f（x）和g（x）满足下列条件：
　　3 小结
　　以上求极限的几种方法互相之间有交叉，说明求极限需要灵活应用不同的方法，学会融会贯通。当然除了上面介绍的几种方法，还有很多其他的方法，比如利用中值定理求极限，利用导数的定义求极限，利用泰勒公式求极限等等。极限思想的理解是比较大的一个难点，只有理解好极限思想才能在求极限的过程中得心应手。
　　参考文献：
　　[1]陈家荣.高等数学教学中求极限的方法研究[J].科学咨询，2019（13）：76-77.
　　[2]舒孝珍.高等数学中函数极限的求法技巧解析[J].赤峰学院学报，2019（35）：11-13.
　　[3]王亚兰，贾杰.函数极限的七种求解方法[J].数学学习与研究，2018（17）：7-9.
　　【通联编辑：光文玲】
转载注明来源:https://www.xzbu.com/8/view-15123601.htm