在结构化教学中建构数学模型
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作者:马晓如
数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。事实上，只有让学生亲身经历了数学建模的全过程，才能更好地渗透模型思想。模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，模型思想注重数学应用，通过数学结构化解决现实世界中的各种问题;而数学课堂上通过结构化教学可以帮助学生把现实情境数学结构化，理解和掌握相关的知识技能，将表层学习引向深度学习，积累活动经验、提高分析和解决问题的能力，分析、抽象、建立模型，感悟数学思想。
一、创设结构化的生活情境是建构数学模型的纽带
数学知识点环环紧扣，在教学中，我们不能创设单一的情境，因为实际生活中的问题并非如此简单。问题是什么需要自己去界定，有用的条件有哪些需要自己去尋找，目标也需要自己选择和把握。因此教学中教师要设计一些需要对信息进行选择、分析、加工与处理的结构化生活情境，使学生建立从现实生活中抽象出数学模型，主动应用自己所学的数学知识去解决问题的意识。
例如，教学“长方体、正方体的体积”后，教师出示长方体容器说：“淘气的妈妈要用这个容器装满牛奶，能够装多少牛奶？”让学生动手探究，在尺子、绳子等学具的帮助下，很快从容器里面测量出尺寸（长40 cm、宽30 cm、高25 cm）算出容积，即满杯后牛奶的体积。接着抛出第二个生活情境：淘气的妈妈往容器中倒入10000 cm3的牛奶，这时牛奶的高度是多少厘米？第三个生活情境：小淘气将这个容器密闭后，翻转容器，原来的底面变成了前侧面，这时10000 cm3的牛奶高度有多少厘米？第四个生活情境：小淘气继续翻转容器，原来的右侧面变成了底面，这时10000 cm3的牛奶高度有多少厘米？第五个生活情境：如果淘气在第一种摆放的长方体的基础上把10000 cm3牛奶的一部分倒入一个正方体容器中，使两边的牛奶高度一样，这个正方体的棱长是20 cm，这时候牛奶的高度是多少厘米？
通过对以上结构化的生活情境的探究，学生不但掌握了求牛奶的高度时，要用牛奶的体积除以它所对应的底面积，而且深化理解了牛奶的体积与它所占底面积的对应关系。牛奶的体积总量可能由几部分组成，牛奶所占的底面积也可能由几部分组成，关键要把握住用牛奶的体积除以它所对应的底面积，就可以求出牛奶的高度。在生活情境五中，由于长方体与正方体容器中都有牛奶，牛奶所占的底面积改变了，现在的底面积应该是长方体的底面积与正方体的底面积之和，即40×30+20×20。牛奶的体积总量没有改变，还是10000 cm3。用牛奶的体积除以牛奶所占的底面积，就可以求出牛奶的高度，所以这时牛奶的高度为：10000÷（40×30+20×20）=6.25 cm。
二、创设结构化的操作情境是建构数学模型的手段
基于现实生活原型，创设具体生动的结构化操作情境，对将要学的知识作适当的铺垫，从学生的“最近发展区”出发，寻找知识的联结点和生长点，借助数学的语言实现通过具体操作向抽象数学模型的有效过渡，为学生数学模型的建构提供可能。
例如，人教版四上“数学广角——烙饼问题”的教学。教师通过创设“妈妈为了让大家尽快吃上饼，要怎样烙才最合理”的问题情境，先从学生容易理解的烙一张饼、烙两张饼操作入手，让学生说自己的方法;烙三张饼是本课的重点也是难点，教师通过让学生小组合作，借用小圆片动手操作，建立数学模型，并对数学模型进行分析、优化。解决完三张饼的问题，继续探究四张、五张、六张等数量饼的最佳（费时最少）烙法，接着通过列表帮助学生在多种方案中寻找最优方案，建立起烙饼问题的数学模型，归纳并表述方法——如果要烙的张数是双数，2张2张地烙就可以了;如果要烙的张数是单数，可以先2张2张地烙，最后3张饼按上面的最优方法烙，最节省时间。进而引导学生通过不完全归纳发现烙饼所需的总时间与烙饼张数之间的关系：总时间=张数×3（张数﹥1）。在整节课的教学中，始终没有出现“模型”一词，而是由教师引导学生在结构化的操作情境中，寻找“数量关系与规律”，这个过程实际上是教师引导学生动手操作实验或通过现代技术手段演示，进行数学模型的探究、建立和应用的过程。接着教师抛出一道习题：牛排店的锅一次能煎10块牛排，两面都要煎，每面要5分钟。现在一群客人点了15 块牛排，请你想一想，厨师最快多长时间可以把15块牛排全部煎好？
教师在一系列结构化操作活动后通过画图、列表等策略帮助学生发现、总结规律，并从中感悟数学模型的形成过程，经历从现实对象到数学模型的构想过程;接着在应用拓展环节的教学中充分地放手让学生进行大胆猜想、小心验证，再经历运用数学模型解决现实世界问题的过程，促进学生了解数学与日常生活的相互关系，有利于提高学生分析、抽象、建模和解决实际问题的能力，从而深刻领悟数学的应用价值，有助于培养学生数学应用意识和应用数学的基本能力，激发学生对数学学习的兴趣和形成良好的情感态度与全面的价值观。
三、创设结构化问题情境是建构数学模型的核心
数学教学应以学生为中心、以结构化的问题情境为核心，变单一讲授为沟通联系、启发思维、感悟方法、激发兴趣，不断看到学生思维的“自我生长”，引导学生在分类、对比、归纳中，学会沟通知识间的联系，实现知识结构化，由此构建数学模型。
例如，杭州市天长小学张麟老师执教“多边形的面积整理与复习”一课，他通过结构化的问题情境串把如散落的珍珠一般的多边形的面积公式串成一条美丽的“知识项链”。张老师通过前测问题情境1：出示在8厘米长的线段上作4厘米的垂线的图，让学生在此基础上画已学过面积公式的多边形，并计算其面积;通过前测了解学生在该模块的学习中存在怎样的差异，让这些差异构成学习资源，寻找学生在应用该模块时出现的典型错误，利用学生的错例来完善认知，构建数学模型。问题情境2：如果只留下一个多边形面积计算公式，你会留下哪一个？为什么？展示学生从不同角度思考公式之间联系的想法。问题情境3：生活中的多边形多种多样，形状各异，我们只学习了这五个图形的面积计算公式，你们觉得够了吗？为什么？通过这样一个挑战性的问题，引发师生共同举例，对这个问题进行探索思考和转化，在解决问题的过程中进一步巩固组合图形面积的计算方法，以及渗透等积变形的思想。
本案例通过结构化的大问题串针对学生学习的难点和薄弱点，引导他们按照一定的规律把已经学过的知识进行分类梳理、整合，弄清知识间的来龙去脉，沟通其纵横联系，从整体上把握知识，使多边形的面积计算公式结构化，利于构建多边形面积计算的数学模型。
（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校 本专辑责任编辑：王彬）
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