借助习题资源 建构数学模型
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摘 要：《新课程标准》指出：数学教学“要让学生亲自经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”。在小学数学教学中，教师要引导学生用数学语言将客观事物或现象的主要特征、主要关系，概括或近似地表述出来，形成一种数学结构，这将有助于提高他们发现数学、创造数学、运用数学的能力和素养。
关键词：数学思维;解决问题;数学模型
苏教版小学数学六年级（上册）《分数四则混合运算》这一单元，有这样一题：画一个长6厘米、宽4厘米的长方形。（1）这个长方形的长和宽分别增加1/2后，各是多少厘米？先算一算，再画一画。（2）现在长方形的面积是多少平方厘米？现在长方形的面积是原来的几分之几？（3）任意画一个长方形，再把长方形的长和宽分别增加1/2。先算出现在长方形的长和宽，再算出现在长方形的面积是原来的几分之几。比较上面两题的计算结果，你有什么发现？
教学时，借助画图和分数应用题的知识，引导学生独立完成第（1）、（2）小题，得出现在的长方形的长是9厘米，宽是6厘米，面积为54平方厘米，求出现在长方形的面积是原来的54/24，化简后为9/4。其次组织学生自己尝试画一个任意长方形，将长方形的长和宽分别增加1/2，计算现在长方形的长和宽分别是多少厘米，再计算现在长方形的面积是原来的几分之几。学生在教师的组织引导下，得出结果是9/4。最后完成“比较上面两题的计算结果，你有什么发现”。
生1：两题的计算结果都是9/4。
生2：长和宽分别增加1/2后，得到的长方形的面积是原来的9/4。
笔者自认为此题的教学到此时已圆满结束，学生在动手操作、自主探究下，已能够求出现在长方形的面积是原来的几分之几，学生掌握了解题的过程，解题思路是清晰的。
【反思】
数学是思维的体操，小学数学教学的目的之一就是要为学生打好数学体操的基本功——练就基本的数学技能，掌握基本的数学思维方法。在教师的数学教学中，要把培养学生的思维能力摆在重要的位置上。反思教学行为，有以下不足：
1.
学生在解题的过程中，先计算出增加后的长方形的长和宽各是多少厘米，再分别求出现在、原来长方形的面积，最后计算出现在长方形的面积是原来的几分之几。学生解决了问题，但第（1）、（2）小题的解决，只是计算的一次重复，学生的思维没有得到有效的训练，学有余力的学生在练习中缺少“养分”。
2.
《数学课程标准》指出：“从学生已有的知识经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”整个教学环节，学生已经经历了探讨的过程，但并未形成解题的模型，所得到的解题经验没有得到有效的应用。教师没有进行适当的改题训练，即举一反三，让学生结合已有的经验，继续探讨如果长方形的长和宽分别增加1/3，1/4……，现在长方形的面积又会是原来的几分之几;如果长方形的长增加1/3，而宽增加1/4，那么现在长方形的面积又会是原来的几分之几，……从而对这一教学资源进行挖掘，最大限度地发挥教材资源的效能，同时很好地训练学生的数学思维，不断提高学生的综合解题能力和创新精神。
【困惑】
1. 如果题目中的“长和宽分别增加1/2”改为“长和宽分别增加1/3”，得到的长方形的面积又会是原来的几分之几呢？学生会不会说是9/4？
2.如果不是9/4，又会是多少呢？学生会不会像前面一样，分别计算出增加后的长和宽，再计算现在的长方形的面积是原来的几分之几？
3.如果长增加1/2，宽增加1/3，学生会不会感到束手无策，学生会不会再次借助前面的解题经验，慢慢计算，得出结果。
4.《数学课程标准》指出：数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题。学生有了上面的解题经验，他们能够借助这些经验，建构解题模型吗？
【提升】
为了解决以上困惑，进行第二次的练习讲解。
1.
结合“长和宽分别增加1/2”这个条件，引导学生思考：现在长方形的长是原来的几分之几？学生结合分数的意义，将长方形的长看作单位“1”，“增加1/2”可以理解为原来的长是2份，现在增加1份，为3份，现在的长方形的长是原來的3/2。同理，将长方形的宽也看作单位“1”，得出现在长方形的宽是原来的3/2。现在长方形的长和宽都是原来长和宽的3/2，那么现在长方形的面积就是原来长方形面积的32×32，也就是原来的94。
追问1：如果题目中的“长和宽分别增加1/2”改为“长和宽分别增加1/3”，得到的长方形面积又会是原来的几分之几呢？学生根据上面的思路，很快求出现在长方形的面积是原来的43×43，即169。
追问2：分别增加1/4呢？学生得出25/16。
追问3：分别增加1/5呢？学生得出36/25。
……
2.
共同探讨：
心理学家盖兹说过：“没有什么东西比成功更能增强满足的感觉;也没有什么东西比让每个学生都体验到成功的喜悦，更能激发学生的求知欲望。”随着问题的进一步深入，学生对结论的得出越来越快，学生的数学模型已成功建构。优秀的学生已不满足于解题，他们提出更深的问题：如果题目中的“长和宽分别增加1/2”改为“长增加1/2，宽增加1/3”，那么现在长方形的面积又会是原来的几分之几。学生们结合刚才的思路，共同探讨分析：现在长方形的长是原来的 3/2，宽是原来的4/3，面积就是原来的2倍。如果改为“长增加1/3，宽增加1/4”，现在的长是原来的4/3，宽是原来的
5/4，面积就是原来的5/3。
看似平常的一道习题，经过笔者的再加工，较好地挖掘了习题的深度，使学生成功积累解题经验，建立数学模型，同时又调动了学生的学习兴趣，使学生的学习热情高涨，思维变得更活跃，学生的个性得以张扬，潜能得以释放，真正体验到了学习数学的乐趣。
作者简介：
曹增力，江苏省扬州市，宝应县柳堡镇中心小学。
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