利用导数与辅助函数解决有关不等式问题的探讨
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作者:陈新华
摘 要：数学课堂拥有着极为独特的魅力，但是学生在学习数学时往往会遇到很多困难。这些困难主要是导数及辅助函数问题，通过合理利用导数以及辅助函数教师可帮助学生突破难点、完成学习激发。为做好此点在课堂上教师应用导数的单调性导数的定义进行讲解，着重突破应用导数处理不等式的相关问题。过后再利用构建一次函数、二次函数、三角函数等来帮助学生了解高中阶段的不等式问题，深化课堂教学。
关键词：导数;辅助函数;不等式
一、 引言
不等式是高中阶段教学的一大难点，不少学生在学习不等式时往往会遇到很多困难。这时教师需要去做的也是利用好导数以及辅助函数来突破不等式学习难点，用好相关定理完成不等式的证明理解。为做好这一点，教师也要改革整个数学课堂的教学方式。了解学生在不等式学习过程中的薄弱之处，积极做好评价总结。对不等式的相关问题完成了解，最终成功突破不等式解题的难点。
二、 利用导数解决不等式问题
（一）应用导数的单调性证明不等式
（三）利用导数来处理不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题就是指不等式中的未知量，无论取最大值还是最小值时它都能够被当作不等式成立。将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题可以简化教学思路，完成学生学习的再次创造。
在教学不等式恒成立问题时教师可由参数问题进行出发，将不等式恒成立问题转换为参数的转变思考。将变量进行分离之后把整个函数式转成M>f（x）的形式，这样整个题目就变成了M>f（x）最大值了。之后教师再把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题，但是在使用导数来解决不等式恒成立问题时教师也要注重好教学的一些细节点比如该不等式的区间端点是否可取。不等式问题在高考中占有着非常重要的比重，这也是教师应该注重的一点。
三、 构造函数在不等式证明中的应用
（一）善于构造一次函数
不等式的证明是一项技巧性很強的题目类型，由此它也很容易成为学生学习的难点部分。但是通过合理构造函数，教师却可以实现不等式复杂问题的简单化。将这些复杂的不等式转化为学生熟悉的初等数学问题，建立起变量以及未知数之间的相互关系。帮助学生利用函数解决问题，最终完成答案求解。一般来讲的话一次函数就是学生在学习过程中最为熟悉的函数，它是学生在中学阶段就开始接触的函数。
通过将不等式问题转化成二次函数比较最值的问题。利用二次函数的相关性质证明出整个题目，这样的一步步思维转换过程是有着一定因果逻辑的。教师首先从题目出发，找出题目中不等式的相关性质。最后通过构造函数利用二次函数来解决问题，在教学学生时教师应该了解这样一整个构造过程。利用好不等式的循环构建来解决问题，最终深化整个课程教学结果。
（三）构造三角函数
三角函数以其独特性质在不等式证明中占据着非常重要的一环，利用三角函数证明不等式也是一种常考的题型。三角函数相较于一次函数、二次函数来讲有着独特的周期性、对称性、奇偶性，这也是三角函数的常考点。在利用三角函数解决实际问题时，教师应该了解三角函数自身的相关特性。
由点到面逐渐解决问题，例如在例题：-1≤x+1-x2≤2。单看题目学生很难了解这样一个问题的突破口，但是之前学生或许做过类似题目，那就是把证明其中的x转化成三角函数来解决问题。由观察我们可以得知，如果将x转化成cosa，那么整个解题过程就会变得十分简单。接下来再进行式子化简得到f（a）=cosa+1-cos2a，进一步化解得到2sin（a+45°）。之后利用三角函数的相关性质在取值范围内解出题目，从而证明出不等式。这样一个解题过程重现了三角函数的性质，这也是学生思维转换的相关过程。在利用三角函数时教师应该着重引导学生先行了解三角函数的相关性质，之后再在了解的基础上应用基础题型进行知识巩固。了解基本不等式的证明特点，而三角函数证明不等式的关键点也是函数的构建。只有多看多总结，学生才会在不断的函数证明过程中了解一些基础性的出发点，并从证明题目中寻找到相关的突破口、最终解决类似的函数证明题。
四、 总结
不等式证明题作为高考考查的一大重点，它理应被数学教师作出重视。在新的课程改革模式下，不等式课程证明也体现着其深刻要点。在日常教学过程中高中数学教师要了解不等式证明的相关特点，着重引导学生分析不等式证明的技巧性。从构造辅助函数和利用导数出发，巩固学生以往所学习的相关知识点。真正解决不等式证明这样一大难题，为学生的后期发展奠基。而这样的思维转换过程也能够让学生的数学学习道路变得更为丰富多彩，它是一种能够激发学生思维、真正完成学生成长的重要教学模式。
参考文献：
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[3]罗春才.浅谈利用导数处理不等式有关的问题[J].魅力中国，2009（5）：100-101.
作者简介：
陈新华，福建省漳州市，福建省漳浦第一中学。
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