辅助函数在数与式的大小比较中的应用
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摘 要:辅助函数是高中数学的重要内容之一,函数知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。它所反映的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。
关键词:辅助函数
许多数学问题运用常规的思考方法解决较为困难,但我们只要善于观察,丰富联想,另辟蹊径,在弄清题目中各条件及结论相互之间联系的基础上,给予适当的邏辑组合,通过构造合适的辅助函数,并运用函数的相关性质,问题将巧妙的得到解决。在数与式的大小比较中适当的引入辅助函数极具新颖性,能有效的使问题转化,达到化难为易的效果。
例1 比较 与 的大小。
解:作辅助函数
,
当 时, ,
又 ,则 ,
所以
,
即 。
评注:本题通过巧构对数函数,将问题转化,经过变形,问题巧妙的得到解决。
例2 若 ,试比较 的大小.
解:令辅助函数 ,并作出 在 内的图像;
易知两函数在 内有一交点,
又 ,
由图可知:
当 时, ,
当 , ,
当 , 。
评注:本题通过数形转化,作相应辅助函数,运用函数图像,从“形”的角度比较两式的大小,更直观,显得简洁,明了。
结束语
函数蕴含着许多数学思想,因而通过构建辅助函数将其它的数学问题转化为函数问题,借助于函数思想方法来解决这些问题有很大的应用空间。体现出数学思维的全面性和创造性,能全面提高学生的数学素养。
(作者单位:四川省广元市八二一中学)
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