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辅助函数在数与式的大小比较中的应用

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  摘 要:辅助函数是高中数学的重要内容之一,函数知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。它所反映的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域。
  关键词:辅助函数
  许多数学问题运用常规的思考方法解决较为困难,但我们只要善于观察,丰富联想,另辟蹊径,在弄清题目中各条件及结论相互之间联系的基础上,给予适当的邏辑组合,通过构造合适的辅助函数,并运用函数的相关性质,问题将巧妙的得到解决。在数与式的大小比较中适当的引入辅助函数极具新颖性,能有效的使问题转化,达到化难为易的效果。
  例1 比较 与 的大小。
  解:作辅助函数
  ,
  当 时, ,
  又 ,则 ,
  所以
  ,
  即 。
  评注:本题通过巧构对数函数,将问题转化,经过变形,问题巧妙的得到解决。
  例2 若 ,试比较 的大小.
  解:令辅助函数 ,并作出 在 内的图像;
  易知两函数在 内有一交点,
  又 ,
  由图可知:
  当 时, ,
  当 , ,
  当 , 。
  评注:本题通过数形转化,作相应辅助函数,运用函数图像,从“形”的角度比较两式的大小,更直观,显得简洁,明了。
  结束语
  函数蕴含着许多数学思想,因而通过构建辅助函数将其它的数学问题转化为函数问题,借助于函数思想方法来解决这些问题有很大的应用空间。体现出数学思维的全面性和创造性,能全面提高学生的数学素养。
  (作者单位:四川省广元市八二一中学)
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