关于矩阵和线性变换可交换的一些应用
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作者: 岳晓鹏 王楠
【摘 要】矩阵和线性变换的可交换性质是矩阵和线性变换的特殊性质，本文主要借助于矩阵和线性变换可交换的性质探讨其在数学问题求解方面的一些应用。
【关键词】矩阵 线性变换 可交换
【中图分类号】O151.21 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）03－0074－01
一 预备知识
一般情况下，矩阵（线性变换）的乘法不满足交换律，即AB≠BA（ ），但是在某些特殊情况下，矩阵（线性变换）乘法的交换律也可成立。
定义1：设A，B∈Cn×n，如果AB＝BA成立，则称矩阵A，B可交换。
定义2：设V为线性空间， 为V上的线性变换，如果 成立，则称线性变换 可交换。
矩阵和线性变换的可交换性质是它们的特殊性质，在某些问题上借助于矩阵和线性变换可交换的性质，可以进一步得到许多相当好的结论。
二 主要应用
例1，设A，B都是n阶实对称正定矩阵，则AB是实对称正定矩阵当且仅当AB＝BA。
证：充分性：因为A，B都是实对称正定矩阵，且AB＝BA，所以（AB）T＝BTAT＝BA＝AB，即AB是实对称矩阵。另一方面，存在实可逆矩阵C，D，使A＝CTC，B＝DTD，则AB＝CTCDTD＝D－1DCTCDTD＝D－1［（CDT）T（CDT）D］，因而AB相似于（CDT）T（CDT）。因为（CDT）T（CDT）正定，所以AB的所有特征值皆为正数，又AB实对称，于是AB正定。
必要性：因为AB正定，所以有可逆实矩阵P，使得PTABP＝E，于是PTBTATP＝PTBAP＝E，即PTABP＝PTBAP，左乘（PT）－1，右乘P－1得，AB＝BA。
上例说明矩阵的可交换性在判断矩阵乘积是否正定时是一个很重要的条件，如果缺少该条件，则相关结论不一定成立。
例2，设A与B均为n阶实对称正定矩阵，且A－B也是正定阵。问C＝A2－B2是否正定阵？是的话，请证明，否则，举出反例。
一个错误的方法：A2－B2＝A2＋AB＋AB－B2＝A（A＋B）＋（A－B）B，因为A与B均为n阶实对称正定矩阵，则A＋B为实对称正定阵。
又知A－B也是正定阵，故A（A＋B）正定，（A－B）B正定。所以A（A＋B）＋（A－B）B正定，即C＝A2－B2正定。
［分析］该证明看起来似乎没有什么问题，但仔细分析就会发现，在证明过程中忽略了一个很重要的条件――矩阵乘积的可交换性，即A和（A＋B）及（A－B）和B是否可交换，本质上就是A，B是否可交换，所以该证明是错误的。实际上C＝A2－B2不一定正定。
正解为：C＝A2－B2不一定正定。反例：如 正
定， 正定， 正定，但是A2－B2＝
，det（A2－B2）＝－1.39＜0，说明C＝A2－B2非
正定。
例3，设 都是n维线性空间V的线性变换。证明：如果 的n个特征值互异，则 的充要条件是 的特征向量也是 的特征向量。
证：设λ1，λ2，…，λn为 的全部特征值，且λi≠λj（i≠j），属于λi的特征向量为αi（i＝1，2，…，n）。因为属于不同特征值的特征向量线性无关，故α1，α2，…，αn为V的一个基。
必要性：设 ，且 在基α1，α2，…，αn下的矩阵分别为A，B。则 （α1，…，αn）＝（λ1α1，…，λnαn）＝（α1，…，αn）A，其中A＝diag（λ1，…，λn）。
由 得AB＝BA。因为与对角元素彼此不同的对角矩阵可交换的矩阵只能是对角矩阵，所以B＝diag（μ1，…，μn）。这时从 （α1，α2，…，αn）＝（α1，α2，…，αn）B，得到 αi＝μiαi（i＝1，2，…，n）。
充分性：若 的特征向量也是 的特征向量，则 （α1，α2，…，αn）＝（α1，α2，…，αn）diag（λ1，…，λn）， （α1，α2，…，αn）＝（α1，α2，…，αn）diag（μ1，…，μn）。
于是， 与 在基α1，…，αn下的矩阵A与B可换：
diag（λ1，…，λn）diag（μ1，…，μn）＝diag（μ1，…，μn）diag（λ1，…，λn），即AB＝BA，因此 。
注：上述问题用矩阵语言描述，即设A，B为n阶复矩阵，且A有n个互不相同的特征值。则AB＝BA A，B有n个相同的线性无关特征向量 存在n阶可逆矩阵P，使P－1AP与P－1BP同时为对角阵。
三 结语
矩阵和线性变换的可交换性是高等代数学习过程中颇令教师和学生头疼的问题，通过将可交换性在矩阵和线性变换之间的转换，可以将问题化难为易，帮助学生理解教学内容，提高学习效果。
参考文献
［1］陈公宁.矩阵理论与应用［M］.北京：科学出版社，2007
［2］程云鹏.矩阵论［M］.西安：西北工业大学出版社，1999
［3］钱微微、蔡耀志.论矩阵可交换的充要条件［J］.大学数学，2007（5）：143～146
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