波利亚的解题理论在高职数学教学中的运用探究
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作者: 刘少荣
摘要：波利亚在他的《怎样解题》一书中,将解题的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问题或建议表达出来,使之更有启发意义。波利亚解题思想是一种具有数学教育特征的解题理论，对此思想进行研究，使其能熟练地运用在解题教学实践中，培养学生的创造能力。
关键词：波利亚解题表；数学教学；探究
解题训练一直被数学教育所重视，数学教师也比较重视对解题的研究。解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，以达到我们想要的目的。解题是一种操作性技能，需要通过反复的实践训练来掌握此技能。目前来说，没有一把万能的钥匙去打开所有的门，帮助我们解决所有的问题。我们可以在教学中尝试波利亚的解题理论或许是一种理想的方法。
一、波利亚的解题理论概述
乔治・波利亚（George Polya，1887～1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家。在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》等著作上，波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。
波利亚提供的“怎样解题表”
在这张包括“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四大步骤解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。”波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”“当你有目的地向自己提出问题时，它就变作你的问题”。而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自己，它们可以帮助你解决你的问题”。
“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段――弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统，既体现常识性，又体现由常识上升为理论的自觉努力。
波利亚给出了“怎样解题”的四个步骤如下：
1.弄清问题。未知是什么？已知是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？
2.拟定计划。找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。
3.实现计划。实现你的求解计划，检验每一步骤。
4.回顾。验算所得到的解。
波利亚的解题理论强调的是数学思维的教学，他把解题作为一种手段，通过怎样解题的教学，启迪学生的数学思维，达到培养学生分析和解决问题能力的目的。解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分，波利亚的解题理论给出了没有冠以心理学名词的解题元认知理论体系。数学解题元认知能力的提高，有赖于解题学习者善于运用波利亚的“提示语”，以及善于提炼具有个人风格的“提示语”。近年来，在素质教育观下，人们深入研究并实践了波利亚的解题思想。
二、波利亚解题理论的运用探究
数学是由问题构成的，正如波利亚指出：掌握数学就意味着善于解题。可见，数学教学的生长点应该是问题和问题的解决。教师在教学过程中可以通过波利亚的“怎样解题”四步骤进行任务分解，最终达到解决问题的目的。
4.回顾：
（1）正面检验每一步，推理是有效的，演算是准确的。
（2）回顾这个解题过程可以看到，解题首先要弄清题意，同时又要及时提取记忆网络中的有关信息（求不定积分的方法，每一种方法的适用条件等），这当中起调控作用的关键是如何去构思出一个成功的计划（包括解题策略）。
（3）在心理机制上，这个案例呈现出“激活―扩散”的基本过程，激活了记忆网络中求不定积分的四种方法，然后根据各种方法的适用条件选定本题的积分方法。在本题的教学中，先让学生思考用什么方法解决问题，在选对分部积分方法之后，在凑微分时又有讲究，如果凑微分方法不对也做不出来，这样让学生经过多次的思考与探索，促进学生反思，提高学生的反思能力。
【练一练】
三、教学建议
1．教师要明确数学教育的宗旨：
数学教育的宗旨是：“教会思考”“培养创造精神”“倡导探索式教学”，既注重智能因素的培养，又不忽视非智能因素的作用。
2．数学学习的三原则：
（1）主动学习原则。学习任何知识的最佳途径都是自己去发现。
（2）最佳动机原则。学生感兴趣的学习材料是教学内容本身的内在魅力，而最佳动机则是学生期望在学习、探索这种强烈心智活动中找到乐趣的心理状态。
（3）循序渐进原则。数学活动易由浅入深、由点及面、螺旋上升。对知识的探究过程不能企图一步到位，学习中不仅需要对解题知识进行学习，而且需要对解题方法、思维方式的形成进行学习。
学生通过波利亚的“怎样解题表”进行解题训练，在解题的过程中，使自己的思维也受到良好的训练。久而久之，不仅提高了学生的解题能力，而且使其养成了良好的思维习惯，这是比任何具体的数学知识都重要的东西。
参考文献：
［１］波利亚．怎样解题.科学出版社，1982.
［2］邵瑞珍．教育心理学.上海教育出版社，1999.
（作者单位 广西壮族自治区柳州市鹧鸪江路8号柳州城市职业学院）
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