高中导数教学的几点体会
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作者: 李 健
摘要:高中数学引入导数的内容拓展了学习和研究的领域,随着课程改革的不断深入,导数知识在高考中的考查要求也逐年加强,导数的教学旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中,形成自觉的应用意识。
关键词:导数;函数的极值;新课程;高考
中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)05-0205-01
随着课程改革的不断深入,导数知识在高考中的考查要求也逐年加强,导数已经由前两年只是在高考中的辅助地位上升为分析和解决问题所必不可少的工具。那么如何恰如其分地进行导数的教学,又如何组织好导数的复习教学,下面将从六个方面介绍笔者在导数教学中的看法,不妥之处请指正。
一、 重视导数基础知识的学习
高中学生学习导数的关键是导数概念的建立,这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景,引出导数的概念,给出按定义求导数的方法,说明导数的几何意义。然后讲述初等函数的求导方法,先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则,再进一步给出指数函数和对数函数的导数,导数的应用这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上,给出判定可导函数增减性的方法。然后讨论函数的极值,由极值的意义,结合图象,得到利用导数判别可导函数极值的方法。最后在可以确定函数极值的前提下,给出求可导函数的最大值与最小值的方法。
为了提高教学效果,在每个知识点的教学中,一定要抓住重点,并把握好教学要求的深度和广度。如在学习导数概念的实际背景时,侧重点宜放在瞬时速度的讲述上,而将光滑曲线的切线的斜率作为辅助材料。这是因为所涉及物理背景比较贴近学生的生活经验,学生易于了解,可是,关于曲线的切线,在对极限的思想还不熟悉的时候,要学生体会“PQ是曲线的割线,当点Q沿着曲线无限接近于点P 时,如果割线PQ有一个极限位置,则直线叫做曲线在点P处的切线”这个定义,是有点困难的;而对于导数公式与求导法则,关键是能让学生运用它们正确地求简单的初等函数的导数,特别是关于复合函数的求导法则,一定要控制好习题的难度;导数应用这部分,即函数的单调性、函数极值与函数的最大值与最小值,重点是让学生掌握方法,能确定一些简单函数的极值与最值。
二、加强知识发生过程的学习
导数这一部分知识可操作性比较强,教学中尽量避免把解题的步骤和方法直接给学生,而应发挥学生的主体作用,让学生在知识的学习过程中自己总结方法和步骤。如在学习导数的概念时,通过曲线的切线以用高一物理中的瞬时速度来引出导数的定义,学生通过这一过程的学习更能明确导数的应用。
三、注意知识的纵横联系
学习导数的知识,从纵向看,要重视与前面特别是高一所学的函数知识的联系;从横向看,要重视与物理知识的联系。函数的单调性,高一学过,但使用的是初等方法,让学生将初等方法与求导的方法加以对比,就可以对学习导数的必要性有更深刻的认识了。此外,我们所学的导数是用极限方法定义的,因此,本章与前一章“极限”,联系也十分密切。
在本章之前,学生已经学习过一些函数的知识。像函数的图象、指数函数、对数函数等,这些内容都是学习导数与微分的基础,将实际问题中的数量关系用函数表示出来,更是解决诸如求一些实际问题的最大值与最小值的关键所在。
四、重视导数的应用,降低理论要求
学习导数,要着眼于用导数的知识及其思想方法解决数学学习、日常生活与工作中的问题。高中阶段,在导数概念的严谨性、知识的系统性上花过多的时间与精力,既没有必要,也不可能有明显收效。因此,与以前高中教科书中的导数部分比较,本章在数学应用的内容上适当加强了,而在理论要求上则有所降低。
在全章的开始,教科书用一个“当容积相同时,圆柱形罐的尺寸如何,其表面积最小”的实际问题作引言,这是导数应用的问题,用这个问题可以激发学生学习导数知识的兴趣。
本章学习了一些导数公式与求导法则,教材侧重的是公式与法则在求导中的应用,淡化的是公式与法则的理论推导。例如,在两个函数四则运算的求导法则中,没有给出商的求导法则的证明;复合函数的求导法则给出的是不严格的证明。
五、 加强导数的综合应用
在新教材高三数学选修本中虽然利用了导数方法研究函数的若干性质,但在平时的学习过程中发现学生仍习惯于选择并不高明的初等方法进行问题解决。究其原因,在于未能将这些用于研究初等函数的先进的高等方法纳入原有的知识结构之中。为克服高中函数学习二年多的思维定向,笔者曾选用高中数学教学中遇到的用初等方法较难解决且流传甚广的典型问题作为范例,在阐述原有的初等方法繁冗且难以思考的同时,给出其简捷明快的导数解法,旨在使学生真正学会用导数作为工具研究函数的性质、并能将该思想方法早日纳入到原有的知识结构之中,形成自觉的应用意识。
六、 加强导数在高考中的研究
有关导数的内容在新课程试卷命题时,它在考查形式和要求上已经发生了变化,导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具,并逐渐加深。这也体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法,这类问题用传统教材的方法是无法解决的。
从以上试题可以看出导数的概念、导数的几何意义、用导数求单调区间、求极值和最值等都考到了,并且还注意到与其它数学知识如二次函数、二次方程、二次不等式、代数不等式的结合。从命题的发展趋势可以看出,体现了对本部分考试要求的三个层次,第一层次是主要考查导数的概念,求导公式和法则;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的极值,求函数的单调区间,证明函数的增减性等; 第三层次是综合考查,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起,设计综合试题。
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