一题多解培养学生创新思维能力
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作者: 陶幼明 刘涛
摘要：一题多解，为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。激发学生学习数学兴趣，形成较强的求知欲，从而提高学生的数学素养。
关键词：数学一题多解；课堂教学；培养创造；学习兴趣；思维能力
中图分类号：G40―012 文献标志码：A 文章编号：1009―4156(2011)04―111―02
数学教学质量与学生学习数学的积极性成正比，如何调动学生学习数学的积极性已成为数学教学研究的紧迫任务，笔者认为，培养学习兴趣是调动学生学习数学积极性的最有效方法之一。数学中的解题，是学习数学、熟练掌握和灵活运用数学知识的一项非常重要的实践活动。通过解题实践，可以逐渐培养学生学习数学的兴趣和提高解题的能力。但是过多、盲目的解题，不仅不会促进学生思维能力的发展、技能的形成，反而易使学生产生疲劳，兴趣降低，窒息学生的智慧；只有通过对典型例题和解题方法的挖掘，才能使知识不断向横、纵两个方向发展，才能激发学生的发现欲和创造欲，在原有的基础上，有所发现，有所突破，有所创新，从而达到培养学生创造性思维能力的目的。在数学的教育教学中，选好一道例题，通过一题多思，一题多解，一题多讲的活动，可以巩固学生的知识，训练学生的思维，开拓学生的视野。利用多角度去看一道题，强化思维的连贯性，知识的衔接，能够全面利用所学的知识解决一些实际性的问题，培养学生对数学知识活学活用能力有着重要的帮助。
思维的广阔性是思维能力的重要前提，它是指善于全面地观察问题，运用多方面的知识经验寻求解题的方法，使解题涉及的知识和方法延伸到数学的各个分支，力求沟通它们之间的联系。进行典型例题的剖析，一题多解，无疑是激发学生的兴趣、开拓学生的思路、培养学生的创造思维能力和多种应变能力的一种十分有效的方法。
为了养成学生广范围、多角度、突破常规地认识事物和解决问题的习惯。一道平面几何问题，而我们却可以用代数的方法给于证明。它还能用三角方法和解析方法来解吗?它为什么能够使用三角方法和解析方法来求解呢?究竟用哪种方法来求解更简便呢?根据学生的心理特点，启发引导学生揭示己有知识、经验与新的学习任务之间的矛盾，引起学生的认识冲突，激发学生的认知兴趣和求知欲，把学生引入“认知冲突－探究－发现－解决问题”的学习过程，使学生的“感知－表象－思维－记忆”等凝集在一起，以达到智力活动的最佳状态。
我们用代数方法、几何方法、三角方法、解析方法等不同的知识和方法进行了证明，有效地运用了形数结合、形数转化的手段，既扩大了学生的视野，又培养了学生的创造思维能力，同时也更有利于学生深化知识，融会贯通。通过对这两个典型例题的剖析，使学生深深领会到：多数几何问题是可以用代数方法、三角方法、解析方法来解，这是因为平面几何问题的条件确定了几何图形的形状和大小，一个确定的几何图形中的线段和角之间彼此是相互依赖的，有确定的形状和大小，也就有了确定的数量关系。因此它可以用三角方法求解。既然几何图形的形状和大小已确定，那么当坐标系选定之后，几何图形中所有点的坐标也就完全确定了，几何图形中的直线或曲线方程也就完全确定了，所以平面几何问题是可以用解析方法来求解的。
应该指出的是，代数问题用几何方法来求解，它直观地反映了代数式各量之间的数量关系和内在联系，我们可以把它看做是所求解的代数问题的一种“几何解释”，它能帮助我们深刻地理解问题的意义。
用几何方法求解时，推理严密，方法较多。当你感到“山穷水尽疑无路”时，若能作出一条巧妙的辅助线，则马上出现了“柳暗花明又一村”的前景；使用三角方法时，关键是找出包含所求线段(或与所求线段有密切联系)的有关三角形，选取有关的元素(边、角、高、中线、角平分线、外接圆半径等)为基本元素，利用揭示三角形中的边与角的关系的正弦定理和余弦定理(在斜三角形中)，锐角三角函数(在直角三角形中)以及面积公式等，列出等式，进行求解；在这个过程中，常常要用到同角三角函数间的基本关系式、诱导公式、和角差角公式等；使用解析方法时，要特别注意把坐标系的选择和几何图形的特点相配合，这是解题中的烦琐与简便的关键所在，是求解中技巧性的一个重要环节。也就是说，能根据几何图形的特点来建立坐标系，就能使直线和曲线的方程简化，从而达到计算简便，推演速决，易于求解的目的。建立直角坐标系时，具体问题要具体分析。
一般地，如果图形有对称中心，可选它为坐标原点；如果图形具有对称轴，可选它为x轴(或y轴)；如果图形有两条互相垂直的直线，可选它们分别为x轴和y轴；如果图形无上述情况，可选某一线段所在的直线为x轴(y轴)，其一端点为原点；等等。三角方法和解析方法，一般不需要或很少需要作辅助线，方法常常是有法可循，思路比较自然，容易理解和掌握，但有些问题的推演比较烦琐。它们各有千秋，重要的是开阔思路，提高全方位、多层次分析问题的能力，掌握学习的方法。
一道数学题，究竟用什么方法来解比较简便，这要视问题的具体情况而定，不能一概而论。要根据问题的性质和特点，具体问题具体分析，特殊问题特殊对待，要从寻找结论和已知条件之间的联系的解题途径中，来选择解题方法。从而启发和引导学生从不同的角度、不同的思路，用不同的方法和不同的运算过程去分析。
综合法的推理过程恰好和分析法的推理过程相反，因此，证明不等式时，我们可以用分析法探索证题途径，然后用综合法写出证明过程；同时还说明了证明不等式的方法是多种多样的，我们要根据不等式的特点选择适当的证法。一般地说，如果用分析法寻找出证明某个不等式的途径，那么，就不难用综合法证明这个不等式，还能启发我们用比较法、反证法或其他方法证明它。
可见，对典型例题的剖析，是培养学生如何学习、学会学习、立体思维的较好措施和培养创造思维能力的有效途径。通过这样的剖析，既可以使学生看到“异途同归”，又可以通过分析比较，探求出更为简捷合理的解法；通过这样的剖析，就等于交给学生一把金钥匙，使学生能够自己去打开知识的大门。这正是思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。
G・波利亚(著名数学家、数学教育家)曾经说过，掌握数学就意味着要善于解题。波利亚一语点明数学教学的根本目的――提高学生探索和解决问题的能力，培养学生的数学创新精神。我们在求解一个新问题时，只有透彻理解数学思想、数学方法并能融会贯通时，才能建立新模型，提出新思想、新方法和最优方案。而一题多解的思想具有对所学知识加以融会贯通的作用，不仅体现了解题能力的强弱，更重要的是其具有开放式思维特点，是一种培养创新能力的重要思维方法。因此，一题多解应当成为我们掌握数学知识和探索数学思维规律的重要手段，也应成为数学教学的闪光点。
这种课的主要目的有三条：一是为了充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；二是为了锻炼学生思维的灵活性，促进他们长知识、长智慧；三是为了开阔学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的创造性。
教育的目的是为社会培养高素质人才。未来社会知识不断更新，新问题不断出现，它需要人们运用科学的思维方法去思考，去解决许多实际问题，因此，数学课的关键要面向全体学生，最大限度地发挥每一个学生的潜能，让学生在自主学习中学会思维、学会学习、学会做人。
参考文献：
[1]全日制普通高级中学教科书《数学》[M]，人民教育出版社，2003.
[2][苏]弗里德曼，怎样学会解数学题[M]，陈淑敏，尹世超，译，哈尔滨：黑龙江科技出版社，1981.
[3][苏]瓦西列夫斯基，数学解题教学法[M]，李光宇，王力新，译，长沙：湖南科学技术出版社，1982.
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