初中几何教学推理有效性的策略研究

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　　【摘要】现行几何课程在一定程度上弱化了几何推理的要求，课程改革呼唤来自于实践调研基础上有针对性的教学研究，一线教师期待具有可操作性的有效教学策略的引领。实施初中几何推理教学有效性的策略研究，倡导以人为本，为学生服务的思想，紧紧围绕“以学生为主体、以教师为主导、以练习为主线、以培养学生推理能力为核心”，切实践行轻负高效的教改新路。本文通过对初中几何推理教学的现状和原因分析，对初中几何推理教学的有效性策略作系列探讨，为提高初中几何推理教学水平提供参考借鉴。
　　【关键词】初中；几何推理教学；有效性策略
　　几何推理教学难的问题要求我们关注几何推理教与学的过程。我国传统的初中几何教学，以证明为主要内容、以发展学生形式逻辑思维能力为主要目的。但因其带有较强技术性和难度，脱离现实生活，缺乏对原理和本质的揭示等，使学生产生畏学、厌学心理，几何教学因此而遭到较大非议。《国务院关于基础教育改革与发展的决定》中指出：应重视基础知识、基本技能的教学，并关注情感、态度的培养；开展研究性学习，培养学生提出问题、研究问题、解决问题的能力；鼓励合作学习，促进学生之间相互交流、共同发展，促进师生教学相长。基于此，在初中几何课堂教学中应倡导建立以“主动参与、乐于探究、交流与合作”为特征的学习方式，注重学生的全面发展，重视学生的个性发展。因此，加强几何推理教学的有效性研究势必成为每一位教师共同面临的课题。
　　一、初中几何推理教学现状和原因
　　1.几何教学方面
　　随着基础教育数学课程改革的不断深入，打破传统封闭的几何体系，改变单一的推理技能演练，发展学生的几何推理能力已逐步得到认同，但如何从简单推理开始，逐步发展到间接和复杂推理，仍是困扰几何教学的主要问题。教师普遍反映，教几何推理比教几何证明更难以把握。根据课程改革的要求及课程标准的理念而编制的各类教材如雨后春笋，然而新教材留给老师的空间很大，不少老师对几何教学要求的定位、对教学内容深广度的把握以及在课堂中有效地落实好三维教学目标还存在许多困惑；知识与技能目标还可以通过作业来反馈、通过检测来评价，而对过程与方法、情感态度与价值观目标如何在教学中渗透、在课堂中实现很是茫然。这些严重影响了几何课堂教学有效度的达成。
　　同时，几何课堂教学中的低效与无效情形仍广泛存在。在课堂教学中，教师讲的多，包办的多，经常“满堂灌”或“满堂问”；“表面上像探究，实际上是讲解”，因为探究中过多帮、扶，使学生缺乏应有的自主性，大部分学生仍处于被动接受的地位，思考力水平明显下降；不少老师对一些主要课型的教学策略和教学模式还停留在原有教学理念和教学要求的层面上。结合实际，分析问题产生的原因：老师对初中几何推理教学的目标把握不准，在初中三年学习缺乏清晰的有层次性的培养目标；老师对几何推理教学方法和策略不得当，未能适应学生当前的学习需要；学生初步接触几何推理学习，对几何推理的思维方式与书写规范等非常陌生，有待课堂教学中教师的培养、指导。
　　2.几何学习方面
　　从八年级要求学习几何推理开始开始，数学分化现象逐渐显现出来：一方面，因几何的有趣和富有挑战性而增强了学生学好数学的信念；另一方面，一些学生的数学成绩因几何学不好而下滑，这些学生因怕几何而怕数学，又因几何学不好而对学数学失去信心。即“怕几何—怕数学、厌数学—放弃数学”。因此有人称：几何是一把“双刃剑”。
　　在调查中了解到，学生厌学几何原因是多方面的：一是从小学数学中的算术、代数到初中的几何，数学学习发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应；二是几何入门概念多、几何语言要求高、形式逻辑推理太抽象等；三是学生对几何证明的意义和背景不了解，看不到学习几何的价值；四是受教师教学观念和教学水平的制约较大；五是受教材的制约大，松散的几何系统影响了学生把知识看作一个统一的整体，学生获得的只是一些零散的东西，知识的迁移力差。
　　二、初中几何推理教学的有效性策略
　　理念与实践之间的差距提醒我们，开展教育科学研究，不能单靠有热情，更需要有理性。我们需要理性地思考影响几何课堂教学有效性的因素，我们更需要理性地探求课堂教学有效性的策略。
　　1.重视几何中的基本概念教学，培养学生的记忆力和运用概念进行推理的能力
　　数学概念反映了对象的空间形式、数量关系的本质属性，是数学最基础也是最重要的知识，就好像是“数学理论大厦”的“基石”。数学推理中的概念是进行推理的前提，是使用数学公理和定理的逻辑基础，同时可以培养学生的研究意识与推理能力。因此教师要重视概念教学，让学生理解概念的内涵和外延并牢固掌握灵活运用。
　　教师要做到这一点，首先，要务必重视概念的引入。概念的引入有多种方式，教师要尽量做到密切联系生产、生活，通过观察具体的事物模型等，建立概念。例如，在讲《全等三角形》的全等概念时，可以通过生活中“一模一样的照片”引出“数学中的全等”；其次，要抓住概念的本质。教师要通过从不同的方位和角度突出概念的主要特征，让学生认清楚概念中每一词句的真实含义，通过反例强化学生对概念本质的理解。
　　例如，在講“角”这一概念时，教师要讲清楚角的定义，并重点强调角的表示方式，还可以与边的表示放在一起比较，加深学生对角的理解。第三，要巩固深化概念，灵活运用概念：为巩固概念，教师可以将概念放在不同的场景中，让学生从熟悉的定义中感受新的启迪。例如，在讲“同位角”“内错角”“同旁内角”时，教师多给些课本中没有的图形，让学生在不同的图形中寻找这些角，并在找角的过程中加深对这些角的概念的理解。最后，强调概念在几何推理中的导向作用：在概念教学过程中，结合实例让学生意识到概念在几何推理中的导向作用，帮助学生深刻理解并掌握概念。
　　再例如，初二下学期学习的平行四边形概念，由利用它的概念及三角形全等的知识点就可以推理获得它的性质定理。在概念教学中，教师要教学生一些方便有效的记忆方法，如编顺口溜等，也可以利用图形加深记忆。 　　2.重视几何性质定理的学习、理解和书写的规范性，提升学生几何推理的准确性和流畅性
　　在数学推理书写过程中，教师应及时对数学语言符号体系进行归纳总结，这样有利于学生第一印象的识记，对于证明中的依据、顺序、步骤应重点强调，必要时可进行书面书写训练等。
　　第一，在几何性质定理的学习、理解时，强化训练学生对几何符号语言的正确表达。用几何符号语言来表示推理过程是初中生学好几何的前提，也是培养初中生几何推理能力的一种策略。在教学中，要让学生熟悉并掌握“∵（因为），∴（所以）”的几何书写格式，并让学生在初学几何定义、定理性质时学会将文字语言表述转化成符号语言，从而简化几何书写，使推理思路更加明确和清晰。如教师在讲授“两直线平行，同位角相等。”这个定理时，应该有图形语言在旁边辅助教学，还要有规范的数学符号语言，如：∵a//b，∴∠1=∠2。
　　第二，在几何性质定理的学习、理解时，要引导学生积极参与几何教学活动，使课堂“活”起来。一方面，让学生参与对几何问题的讨论、操作和实验，使学生在参与中轻松地获取了知识和方法。另一方面，学生这种自身参与的探索、研究一旦获得成功，他们会产生一种自豪感，从而推动学生更有信心地学习、探索和创造，从而对学习几何产生更浓厚的兴趣。如在“平行四边形性质”的第二课时教学中，先让学生回忆平行四边形的对边和对角之间有什么关系，等大家答出“对边相等，对角相等”，然后问学生“平行四边形的对角之间有什么关系？”让学生去猜想，让学生拿尺子到黑板上去量。在学生得出结论后，再由学生自己完成结论的证明。这样的教学既提高了学生的学习兴趣，又能使学生的能力得到培养，拓宽学生的思路，使课堂教学真正“活”起来。让学生在课堂上充当“老师”的角色进行演绎推理，发挥学生学习的主体地位，充分体现“自主学习、合作学习、探究学习”的新课程理念，让学生会学、乐学。
　　3.编制几何学习专题集，提高学生的推理能力，从而提高几何推理教学的有效性
　　初中几何推理具有严密的逻辑知识体系，内容之间相互联系、紧密衔接。教师的证明教学存在一定难度，要对学生进行科学的专题训练，开展生动的教学活动，提高学生问题分析的能力。其中，专题训练不是单纯地搞“题海战术”，而是要采用科学的方法对某一知识模块进行训练，注重对知识和方法的总结归纳，并进行反思。此外，教师要开展生动的教学活动，加强几何推理技巧训练。
　　（1）基本图形训练教学
　　正确而灵活地识别几何图形是证明几何问题的前提和基础。几何学研究的对象是几何图形，几何图形千千万万，有的简单，有的复杂。在这些图形中凡是我们学习过的定义、定理、公理、推论所反映的图形都属于基本图形，教学中要让学生通过观察，归纳，类比，寻找基本图形，探究基本图形的性质和几何图形的演变，对比复杂图形和基本图形，从而提高证明能力。
　　（2）变式训练教学
　　教學中精心选题，特别是选择具有代表性的题，适当地对原题进行深层的探索，适当改变条件，从而挖掘出更深刻的结论，这样可以充分发挥学生的潜能，培养发散思维，激发学生学习热情，从而提高其推理论证能力。
　　（3）一题多解训练教学
　　通过一题多解，培养学生思维的广阔性。推理中让学生大胆质疑，大胆创新，通过多角度，多方位，多层次地探求解题思路和方法，开阔学生思路，培养思维的广阔性，培养学生探究精神，从而提高推理论证能力。
　　（4）数学思想方法教学
　　不同阶段，关于几何推理能力的培养与提升有不同的要求。而几何专题复习阶段是学生系统地提升几何推理能力的关键时期。所以，在该阶段的教学上，应从更高层次的数学观点入手，针对不同的学生，采取合适的教学手段，通过数学思想方法的渗透、提炼、总结、掌握、运用，充分提升其思维水平，从而达到几何推理能力的提升与强化。
　　4.运用电子白板、微课等形式，提高几何推理教学的效率与质量
　　在初中平面几何教学中，几何推理是教学中的重点。微课与电子白板具有灵活、直观、高效、易操作的特点，结合传统教学手段，能在课堂及课后更有效地帮助学生理解某些抽象、难懂、复杂的几何概念与模型，从而更有效地提高几何推理教学的效率与质量。
　　（1）电子白板在几何推理教学中的应用
　　一是可直观且高效地展示出较为抽象或理解难度较大的几何概念。对于某些几何概念，单纯靠传统教学手段，学生理解起来较为抽象，不易掌握其本质，若仅靠传统教学手段，会花费大量的时间且不容易得到较好的效果。若利用电子白板，则能简化发掘本质的过程，提高课堂效率。
　　二是清晰且高效地呈现出同一几何背景的所有不同的情况。某些几何概念或几何问题所涉及的情况种类较为复杂，仅靠传统教学手段在有限时间内同样难以十分清晰、高效地把所有情况清晰地列举分析清楚，可若结合电子白板，不仅能提升课堂效率，还可以让学生更清晰地掌握所有情况的来龙去脉，有助于其思考与分析。而在解决某些涉及到分类讨论的动点问题时，利用电子白板结合其他多媒体及传统教学手段，有助于学生更清晰地理解题目，掌握方法，生成解题思路。
　　三是高效、全面且灵活地呈现同一到题的不同解题思路与解题方法。①利用电子白板生成思维导图，比用传统的方法，更高效、全面且更灵活。在几何推理教学中，思维导图能使学生对某内容形成系统的架构，因此在某些知识点庞大且复杂的内容中，思维导图往往能帮学生在纷繁复杂的零碎知识点中理清知识点间的联系，从而形成系统的知识框架与知识网络，进一步巩固并强化学生的几何推理能力；在几何推理教学的习题课中，思维导图更能引导学生的解题思路；②利用电子白板的投影功能呈现学生的不同思路与解法；③利用电子白板的投影功能呈现学生在学习过程中的某些理解或逻辑上的错误。
　　（2）微课的优势
　　在几何推理教学中，微课的使用可分为两类： 　　一是针对某个情况较为复杂或较为抽象的几何概念。几何推理教学中，某些几何概念所涉及到的情况较多，学生在学习时就很容易出现对概念的混淆或几何语言的表述混乱。此时，在结合课堂教学的基础上，利用微课，让学生对这些概念有更全面、清晰、深刻的理解，能减少学生在几何推理学习中所走的弯路。
　　二是针对某个有一定难度的几何专题或几何模型。对于某些有一定难度的几何专题，由于其对学生综合运用知识与推理能力的要求较高，因此仅靠常规课堂教学不容易让学生完全掌握。而教师可通过设计针对这些几何专题的微课，让水平适合的学生能在课后仍可继续学习巩固，从而达到学生能力的训练与提升。以“一线三等角几何模型”专题为例，该内容并非课标要求所学内容，但对该内容的学习能训练学生对相似三角形判定与性质的综合运用水平，提升其运用相似三角形的知识解决问题的能力。而该专题对学生的观察、理解、推理能力的要求较高，所以需要学生花足够的时间去学习掌握。因此，教师可针对不同层次的学生，设计适合各自水平的关于此专题的微课，让学生不仅在课堂上得到锻炼，在课堂外也能通過微课学习与掌握。
　　5.因材施教，让不同层次的学生在数学推理能力上有不同程度的发展
　　首先，任何能力的培养都必须充分考虑学生的身心特点和认知水平，注意层次性和差异性。另外，要使学生都能体会到推理的重要性、证明的必要性，使学习数学推理成为学生的自觉要求，克服“为了推理而推理”的盲目性，还要注意推理论证“量”的控制，以及要求的适度。教师在教学中，当有的学生提出比较灵巧但缺乏通用性的方法时，要鼓励和肯定，但并不一定把这种解法展开介绍向全体学生。有经验的教师并不做解法的奴隶，而是做学生的“知己”，面临一道题，他首先考虑，如果我是学生，我会怎样想，而不是仅仅醉心于某种解法多么巧妙。
　　从七到九年级几何推理发展系统上来看，七年级教师有忽视平面几何“图形初步认识”这部分内容教学的现象，认为内容零散，缺乏几何“实质”性内容，从而压缩时间，匆忙而过，不求甚解，影响了直观推理能力的发展。此外，重视让学生通常采用实验验证方式进行判断，忽视了超越直观进行思考的直观感知能力的培养。八年级学生重视逻辑规则的学习和几何推理过程的模仿，九年级学生主要精力集中在做结构良好的几何推理题。调研结果显示，八年级和九年级学生在直观推理作业表现为通过直观感知进行判断和推理，其准确率不高。统计显示，高年级学生在基本的几何直观问题上的表现甚至不如七年级学生。在类似于“用四个直角梯形拼成平行四边形”的题目中，九年级学生表现水平较低，在作图、图形变异和移动、操作等作业中没有表现出高年级应用的水平。
　　6.推进几何推理教学设计在各个环节上的教学组织过程的优化，提高教学的有效性
　　首先，创设问题情境。情感作为主要的非认知因素制导认知过程，发展学生良好的情感，可激发想象力，使创造性思维得到充分发挥，反之则会压抑学生学习的主动性。问题解决应成为数学教学设计的逻辑起点。针对几何课题学习内容，创设良好的问题和情感环境，建立起几何课题学习内容与现实生活中的图形、物体和实际问题的联系，引发学生的问题意识和为达目标而主动探究学习的迫切心理倾向，通过问题解决有效地促进学生几何推理能力的发展。
　　其次，经验材料的数学化。数学地组织现实世界中的过程就是数学化。要让学生通过形象识别、实验验证、直观感知等一系列直观推理活动，确认情境中提供的各种信息，提出可能的猜想；通过结构关联推理活动，明确课题所包含的要素及其关系，进而初步建立起课题学习的知识框架结构；通过描述推理对这一思维过程进行描述或表达，进一步明确课题学习目标；通过对本阶段推理活动的系统回顾和反思，总结一系列推理活动的体验和策略，理顺认知，优化思维过程，进一步明确课题学习的目标。从创设问题情境到经验材料的数学组织，一般经历：弄清问题—提出猜想—拟定计划—明确目标—回顾五个环节。
　　第三，逻辑化。逻辑化是通过逻辑组织和推理核实猜想。落实计划，达成目标的过程。在经验材料的数学化过程中，必然会提出一些相关的概念、方法和结论等数学材料。在这一环节中，首先要按照几何推理的规则要求，确认和表达经验材料的数学化获得的信息，揭示概念的内涵和外延，对概念给出定义，对结论给予明确的表达，以明晰概念，理解结论的内涵。对获得的结论进行验证和证明，这一过程仍依赖个体经验和已经掌握的定义、公理、定理等，建立起落实计划所需要的各种关联关系，从中发掘和表达蕴含关系。在此基础上，对前三个环节的思维过程进行系统回顾，理顺认知，优化思维过程，并进一步明确结论，建立起与个体认知结构的必然联系，促进学习成果的提升和“固化”。这一过程经历：信息确认—逻辑推理—结论—回顾。
　　第四，应用。将逻辑化过程获得的结论应用到新的情境中，让学生感知和体验数学知识应用的基本规律和方法，在解决实际问题的过程中，实现对所学到的逻辑知识的深刻理解，增进对数学学习意义的理解，体验数学的价值。包括直接应用、间接应用和综合性应用。一般经历：问题情境一建立模型一解释一拓展四个环节。
　　第五，反思。对推理活动过程进行系统反思，概括知识结构，升华思想方法；归纳推理活动的范围、策略与方法；同学间交流经验和交互评价，教师激励评价；总结经验教训，写出学习心得体会。几何课题教学要重视训练学生进行自我反思，给学生自我评价的机会，使学生善于表达自己的观点，比较他人的观点，给出他们能够接受这一观点而不是另一观点的理由，以增强学生的自我意识，发展学生的元认知能力，促进学生对自己的推理活动及时进行分析和评价，提高学生学习的自觉性，及时调整和改进学习过程。
　　三、总结
　　本课题将着眼于寻求在各教学环节中提升教学有效性的策略，在基本概念、书写规范化、专题教学训练、电子白板和微课的使用、因材施教、教学设计的优化六个方面为提高初中几何推理教学进行了详细的分析总结，具有一定的现实参考意义。课题通过把握初中学生的学习心理特征与认知发展规律，探讨如何让学生掌握几何语言、几何图形、几何符号三者的转换方法、表达方式，以提高学生的学习兴趣和自信心，促进学生推理能力的发展和提高；提高教师的自我反思能力，养成不断审视课堂、研究课堂、反思课堂的习惯，从而不断提高自身的课堂教学能力和技巧。
　　同时，本课题研究也存在着一些缺陷和不足：首先，在新课标下，指导几何推理教学应该用什么样的理论，或者说什么样的理论与几何推理教学为最佳组合在本研究中有所欠缺。其次，几何推理主要包括演绎和合情推理，本研究中并没有对这两种推理做详细的教学策略方面的探究。第三，怎样把现代技术与几何推理教学更有效的整合，达到最优化的效果，本研究还有待进一步深入。最后，本研究是在多年教学实践的基础上提出的有效教学策略，主要是从教师的“教”这一方面进行策略分析，而对于学生的“学”、“性别差异”等方面考虑的较少。
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