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无穷小阶的估计法的应用

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  摘 要:本文给出用“阶”的概念及估计求极限和判断广义积分的敛散性的方法,大大简化了求极限和判断广义积分的敛散性的过程。用这种方法还可以简化判断级数的敛散性的过程。
  关键词:无穷小阶极限敛散性
  一、“阶”的概念及其推广
  高等数学中“阶”的概念是在学习“无穷小的比较”这一内容时用极限概念引入的,无穷小阶”的概念反映了在自变量的变化过程中,变量趋近于0的快慢程度。以下是许多《高等数学》教材中“阶”的初步概念。
  定义1:设 、 是同一变化过程中的两个无穷小。
  (1)如果 ,则称 是比 高阶的无穷小
  记作
  (2)如果 ,则称 是比 低阶的无穷小。
  (3)如果 ,则称 是与 同阶的无穷小,特别地,如果 ,则称 是 等价的无穷小,记作
  (4)如果 ,则称 是 的 阶的无穷小.[1]
  可以将以上定义进行推广,得到如下定义
  定义2:设有任意两个函数 、 ,且 恒大于零, 在 ,
  (1)如果
  则称 相对于 是无穷小量,记作 ; 称 是比 更高阶的无穷小;
  (2)如果
  则称 与 是渐近相等的,记作 , 则称 与 为等价无穷小量;
  (3)如果
  则称 与 是同阶的函数,记作 , 则称 与 是同阶无穷小。[2]
  以上定义中当 时,因为它的性态简洁,所以常用 当作比较“阶”的基准,所以有:
  二、“阶”的概念及估计的应用
  1.应用于求极限
  定理1:等价无穷小替换定理:设 是同一变化过程中的无穷小
  证明(略)[2]
  2.由等价无穷小的性质,容易证得以下极限运算的规则:
  (1)和差取大规则:设 、 是同一变化过程中的两个无穷小
  若
  (2)和差代替规则:设 是同一变化过程中的无穷小, 且 不等价, 。
  例如
  、
  解: 、
  解:
  2.应用于判断广义积分的敛散性
  定理2:设 是定义在 上的连续函数,那么
  (1) ,
  (2)
  说明:(1)以上定理实际上就是广义积分的极限审敛法的变形形式,所以省去其证明。
  (2)我们都知道若 ,则 [3]
  例3;判断下列积分的敛散性;
  (1) (2) (3)
  解:
  (1) 收敛。
  (2) 收敛。
  (3)
  当 >1时为绝对收敛
  当 时为发散。[3]
  通过以上举例说明,利用“阶”的概念来求极限和判断广义积分的敛散性非常简单、实用,因此我们不要忽视一些看似简单的概念在高等数学中的重要作用。以上只是“阶”的概念的簡单应用,它还可以应用于判断级数的敛散性等许多方面。
  参考文献
  [1]陈水林易同贸.高等数学[M].武汉:湖北科学技术出版社,2007.29
  [2]周民强.数学分析[M].北京:上海科学技术出版社,2002.9.119-124
  [3]陈吉美等.浅谈极限中阶的估计法及其应用[J].湖南数学年刊,1995,15(3):84-85.
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