一道有争议的排列组合题的调查分析和教学启示

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　　 摘要：作为一位数学教师，也应该要有数学家的基本思维方式。数学是一门公理化体系下的学科，许多问题应该在定义，定理，公理的基础上思考研究，而不是盲目的用经验主义处理。教学中，对于学生的提问，我们经常会做出这样的回答：“你那样是错的，按老师的方法来。”在学生不满意这样的回答时，我们还会怪罪这个学生不听话，不按照教师要求做。其实，如果我们能从书本上的定义、定理、基本概念出发，给学生解释清楚来龙去脉，让他心服口服，不仅仅能解决他的疑问，更是另一种形式的数学教育，甚至说，这才是作为数学教师真正应该教会学生的东西。
　　 关键词：争议;调查分析;教学启示
　　中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1992-7711（2019）01-0101
　　一、问题起源
　　 在高三一轮复习的一次听课中，有这样一道小题：小明有3双颜色相近的袜子（不分左右脚）。某天早晨，由于贪睡造成晚起，为了防止上学迟到，小明随手从这3双颜色相近的袜子中抓起两只袜子套在脚上，拔腿就走。则小明穿的不是同一双袜子的可能性有几种（ ）。
　　 A. 22 B. 24 C. 28 D. 30
　　 上课教师给出的参考答案是：因随手抓，故每只袜子等可能被取到。完成穿好一双不同色袜子这件事情，先从3双袜子中选一双，选一支套在左脚上，有C31×C21=6种不同的选法;再从剩余的两双袜子中选一双，选一支套在右脚上，有C21×C21=4种不同的选法，由分步乘法计数原理可知，N=6×4=24种，故選B。
　　 课堂上一位男生提出异议：因为题目中说不分左右脚，故小明穿的不是同一双袜子的可能性只有N=A32=6，用A，B，C表示袜子的3种颜色，用（x，y）表示左脚穿x，右脚穿y袜子，列举出来便是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）。上课教师很机智说：这位同学很有想法，敢于质疑，敢于思辨，这样思考也很有道理，这个问题我们课外再讨论下，统一答复。
　　 二、问卷调查
　　 这是一道高三的一轮复习题，此时笔者正在教高二，于是想若将这道题改成填空题并让已学过计数原理、排列组合及概率的高二学生做又会怎样呢？是否也产生与高三学生类似的情况？因此，笔者就对高二年级程度相对较好的一个学军班和三个重点班进行了问卷测试，四个班共计173人，其中男生85人，女生88人，问卷在课堂上当场完成，并全部有效收回。
　　 三、调查结果
　　 对测试结果按性别，分层进行了描述性的数据统计，表中数据表示相应的人数，“其他”是指有别于这两个答案的各种答案，如下表所示：
　　 从表中可以发现改成填空题后，答案为6的学生更多了。共有82名学生的答案为24，占了约47.4%，60名学生的答案为6，占了约34.7%，31名学生的答案为“其他”，占了约17.9%.这一测试结果与在高三听课过程中呈现出来的问题是一致的。
　　 四、分析与讨论
　　 这是一道计数题，高二、高三学生做的结果也完全类似，且还引起了教师的争议，那么该如何分析这道题呢？笔者以为可以从下面几个方面来分析讨论。
　　 1. 从一道由该题引申的古典概型题说起
　　 （1）从古典概型的定义上分析
　　 人教版《数学3》中对古典概型定义的描述是具有两个特点的概率模型：（1）试验中基本事件的有限性。（2）基本事件发生的等可能性。因此古典概型首先要弄清楚样本空间，它必须要满足以上两个特点。这道引申题第一个特点显然满足，问题就出在第二个特点上，解2以为样本空间只有9种基本事件，但这9种是等可能吗？我们标记A1A2，B1B2，C1C2表示3双不分左右脚的袜子AA、BB、CC，用（x，y）表示左脚穿x，右脚穿y袜子，比如（A，B）来自于AA、BB两双袜子，可造成（A，B）的却有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4种等可能结果，两只不分左右脚的袜子AA套在脚上造成（A1，A2），（A2，A1）有2种等可能结果，造成（B，B）和（C，C）的也有2种等可能结果.故我们看到的结果（A，A），（A，B），（A，C），（B，B），（B，A），（B，C），（C，C），（C，A），（C，B）不等可能，（A，A），（B，B），（C，C）只有2种可能，而（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）却有4种可能，故解2是错误的。
　　 （2）错误原因分析
　　 导致错解的表面原因是对样本空间的错误认识，但产生这种错误的深层原因是混淆了两只相同袜子有选择和无选择的区别，比如（A，B）中的A和B是有选择的，来自于A1A2，B1B2，两双袜子，可造成（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2）4种等可能结果。再深究将有选择视作无选择的本质原因是没有理解透古典概型的定义，尤其是古典概型的第二个特点。
　　 2. 回归原题
　　 我们标记A1A2，B1B2，C1C2表示3双不分左右脚的袜子AA、BB、CC，用（x，y）表示左脚穿x，右脚穿y袜子。由以上分析，造成（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B）的各有4种等可能结果，从而小明穿的不是同一双袜子的可能性有6×4=24种，即教师给出的参考答案已经是对的了。
　　 五、教学启示
　　 1. 充分利用好教材，而不是简单的教教材
　　 （2）日常教学中的一些思考
　　 第一，很多数学问题应该在定义，公理、定理的基础上思考研究，而不是盲目的用经验主义处理，作为一名数学教师，也应该要有数学家的基本思维方式。第二，教学中，对于学生提出的问题，我们应该从书本上的定义、定理，基本概念出发，给学生解释清楚来龙去脉，让他心服口服，不仅仅能解决他的疑问，更是另一种形式的数学教育，甚至说，这才是作为数学教师真正应该教会学生的东西。第三，作为数学教师，在一些数学问题上存在不一样的见解和看法，合情合理，但是理性的讨论也是应该的，笔者希望这样的讨论在我们平时的教学中再多一些。
　　（作者单位：浙江省磐安县磐安中学 322304）
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