用Lagrange方程求自由质点在球坐标系中运动微分方程

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　　摘 要：利用Lagrange方程和坐标变换的方法，本文详细地给出了自由质点在球坐标系中运动微分方程的求解过程.在求解过程中，数学推导严密，过程详尽，并且思路清晰，这对于理解和掌握这部分知识有一定的指导和参考意义。
　　关键词：球坐标系;Lagrange方程;质点;微分方程
　　在分析力学中，利用Lagrange方程求解力学体系的运动微分方程是非常方便的。因为只要知道这个力学体系用广义坐标和广义速度所表示的动能以及作用在此力学体系的广义力，就可以写出力学体系的动力学方程。[1]然而，在理论力学教程（周衍柏编）第五章第三节中，作者在讲授利用Lagrange方程求解自由质点在球坐标系中的运动微分方程时发现，虽然教材中已经给出了结果，但推导过程不够详尽，且推导速度表达式所采用的方法不易理解。一般求解速度的方法通过对位置矢量关于时间求一阶导数即可得到。另外，教材也是直接给出了力学体系广义力的表达式，并没有详细说明广义力的表达式是如何推导出来的，这使得完全理解更加的困难。本文采用基本的坐标变化方法，并给出了详细的推导过程和最终结果。虽然数学推导较多，但推导严密、解题思路清晰，这对于更好理解和掌握這部分知识有一定的指导和参考意义。
　　1 球坐标系与直角坐标系的基矢变换关系
　　5 结论
　　本文从球坐标系与直角坐标系的基矢变换关系出发，详细地给出了球坐标系中用广义坐标和广义速度所表示的力学体系的动能及广义力表达式的推导过程，然后将此结果代入基本形式的Lagrange方程，从而得到了自由质点在球坐标系中的运动微分方程。在求解过程中，力求数学推导严密和过程详尽，同时也注重解题思路澄清，这对于理解和掌握应用Lagrange方程求解自由质点在球坐标系中运动微分方程有一定的指导和参考价值。
　　参考文献：
　　[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009：210-220（3）.
　　[2]李宏，许文龙.空间直角坐标系与球坐标系变换研究[J].牡丹江师范学院学报，2017，2：49-51.
　　[3]丁光涛.理论力学[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2013：58-65（1）.
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