一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究
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作者:黄梅花
[摘 要] 二阶线性微分方程在常微分方程理论中占有重要的地位。一般求解常系数线性微分方程的方法包括特征根法、比较系数法和拉普拉斯变换法等，但二阶变系数线性微分方程却没有一般的方法进行求解。利用解微分方程的重要方法——常数变易法，给出一类二阶变系数线性微分方程通解的求法和结论，经过探究证明方法和结论是可行的。
[关 键 词] 二阶变系数线性微分方程;解题方法;通解
[中图分类号] O175 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2019）22-0194-02
形如y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的微分方程，称为二阶线性微分方程，其中p（x），q（x），f（x）是已知函数。当f（x）≠0时，称方程为二阶非齐次线性微分方程;当p（x），
q（x）为常数时，称方程为二阶常系数线性微分方程;当f（x）=0时，称方程为二阶齐次线性微分方程;称方程为二阶变系数线性微分方程的条件则是p（x），q（x）为非常数。我们知道，其中p，q是常数的二阶常系数齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），（1）。当（1）的特征方程r2+py+q=0的两个根r1，r2为两个相等的实根，即r1=r2=r时，（1）的通解为y=（C1+C2x）erx，其中y1=erx，y2=xerx分别为（1）的两个特解。利用上述结果，对一类二阶变系数齐次线性微分方程[k（x）y′]′+p（x）y′+q（x）y=0，（2）其中k（x），p（x），q（x）是关于x的函数，通过常数变易法给出了其通解的表达式。下面我们主要探讨二阶变系数线性微分方程的通解，因为对二阶常系数线性微分方程的通解已经有了一般的计算方法，当然下面的定理也适用于二阶常系数线性微分方程。
一、两个定理及其证明
定理一：若y1为二阶齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的特解，则二阶非齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解为：
Y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫
y1f（x）e-∫p（x）dxdx]dx
分析过程如下：对方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解问题，我们由教材中的定理可知：若y1和y2是方程y''+p（x）y'+q（x）y=0的两个线性无关的特解，y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的特解，则y=C1y1+C2y2+y0是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。所以方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解问题，就转化成求y2和y0，即两个特解的问题。我们下面用常数变易法求解。
证明（1） 令y2=C1（x）y1（C1（x）为待定函数，且C1（x）非常数）是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一个特解，显然y1和y2线性无关。我们求导，可得y2'=c1'（x）y1+c1（x）y1'，Y2''=c1''（x）y1+2c1'（x）y1'+c（x）y1''，将其代入方程y''+p（x）y'+q（x）y=0，整理可得：c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c1'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c1（x）=0已知y1为二阶齐次线性微分方程y1''+p（x）y1'+q（x）y=0的特解，故y1''+p（x）y1'+q（x）y1=0，代入上式，有c1''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）ci'（x）=0。
这是一个关于C1'（x）的分离变量的微分方程，用分离变量法，得到：
C1'（x）=e∫-p（x）dxdx积分可得：c1（x）=∫e∫-p（x）dxdx
所以y2=y1∫e∫-p（x）dxdx是y''+p（x）y'+q（x）y=0的另一个特解，并且与y1线性无关。
（2）令y0=c2（x）y1（c2（x）为待定函数）是y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一个特解，求导可得：yo'=c2'（x）y1+c2（x）y1'
y0'=c2'（x）y1+2c2'（x）y1'+c2（x）y1''将其代入方程y''+p（x）y’+q（x）y=f（x），整理可得：
C2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）+（y1''+p（x）y1'+q（x）y1）c2（x）=f（x）化简可得：c2''（x）y1+（p（x）y1+2y1'）c2'（x）=f（x）即c2''（x）+（p（x）+）c2'（x）=这是一个关于c2'（x）的一阶线性微分方程，由常数变易法可得：c2'（x）=∫y1f（x）e∫p（x）dxdx
積分可得：c2（x）=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx
所以y0=∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx是方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的一个特解。
由教材所学方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解为y=c1y1+c2y2+y0，将上边所求的y2和y0代入有：y=c1y1+c2y2∫dx+y1∫∫y1f（x）e∫p（x）dxdxdx
即为所求的二阶非齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解。 定理证毕。
定理二：对二阶非齐次线性微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），若存在函数u（x），v（x）满足u（x）+v（x）=p（x）且u’（x）+u（x）v（x）=q（x）则方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解：y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）dx-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]
证明将u（x）+v（x）=p（x）和u'（x）+u（x）v（x）=q（x）代入微分方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），经过整理可得到（y'+u（x）y）'+ （y'+u（x）y）v（x）=f（x）其中令Z=y'+u（x）y，则上式可变为z'+v（x）Z=f（x）这可以看成是关于Z的一个一阶线性微分方程，利用常数变易法，可求得通解为：z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）
Z=y'+u（x）y变形有y'+u（x）y=Z，若Z已知，这个方程可以看成是关于y的一个一阶线性微分方程，同样利用常数变易法，可求得通解为：
将z=e-∫v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）代入上式y=e∫-u（x）dx（∫zeu（x）dxdx+c2）可得方程y''+p（x）y'+q（x）y=f（x）的通解为y=e∫-u（x）dx[e∫u（x）-v（x）dx（∫f（x）e∫v（x）dxdx+c1）dx+c2]
则定理证明完毕。
二、应用举例
若y=是微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=0的一个特解，求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解。
我们的解题过程如下：首先由定理1，令y1=，p（x）=-4x，q（x）=4x2-1，f（x）=xlnx，所求微分方程的通解为：y=c1y1+c2y2∫e-∫p（x）dxdx+y1∫[∫y1f（x）e∫p（x）dxdx]dx经过化简可得：y=（c1+c2x+x3lnx-x3）另外，如果本题没有已知条件，直接求微分方程y''-4xy'+（4x2-2）y=xlnx的通解，只要能找到u（x），v（x）就可以，因此我们可以借助定理2找出通解。
除此之外，如果该微分方程我们得到或观察出对应的齐次微分方程的一个特解，也可以由定理1求其通解。
综上所述，在微分方程中二階变系数线性微分方
程占有重要地位，关于它的通解结构，在理论上有十分完美的结论，但是除特殊的欧拉方程外求解二阶变系数微分方程没有一般的初等解法，所以对于一般的二阶变系数线性微分方程：y''+p（x）y'+q（x）y=f（x），其中p（x），q（x），f（x）是已知函数且为x在区间上的连续函数，研究它的初等解法非常重要，对满足一定条件下的二阶变系数线性微分方程可采用化为恰当方程通过降阶得到微分方程的通解。二阶变系数线性微分方程的通解计算没有统一的初等解法。应用上边两个定理时都有一定的条件限制，虽然对部分这种微分方程的通解给出了很好的计算方法和公式，但是并不是对所有的二阶变系数线性微分方程适用。定理1条件是必须知道一个对应齐次微分方程的特解，但对微分方程没有限制。相反的定理2却对微分方程的系数做了一定的限制。我们在具体求解过程中两个定理各有千秋，所以我们要灵活应用。我们都在定理的证明中用了两次常数变易法，从中可以知道常数变易法对解微分方程的重要性。
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◎编辑 冯永霞
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