让学生经历知识的形成过程

来源:用户上传      作者:陈京山 覃远坤

　　数学知识的形成经历了从实际应用到经验积累再到概念升华的过程。我们在教学中应重视让学生从已有的生活经验出发，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生更好地领悟数学概念和思想方法。
　　一、让学生经历规律的探索过程
　　概念教学应重视概念产生的背景和概括过程，学生经历规律的形成过程才能更好理解概念本质和其所反映的思想方法。
　　学习“平方根”的概念时，教师通常是给出一些特殊的“纯数学”材料，供学生观察，如32=（  ）、（-3）2=（  ）、0.22=（  ）、02=（  ）等，再反问学生：（1）一个数的平方是9，求这个数？有几个？（2）一个数的平方等于0.4，这个数是什么，有几个？……由此引出“平方根”的概念。当教师询问一名学过无理数，成绩较好的学生：“[2]到底是什么？是一个数吗？”时这名学生思考了一会才说：“[2]的平方根等于2，它不一定是一个数，不知道等于多少”。这个回答表明学生并没有真正理解平方根和无理数的概念，只是从形式上、字面上理解和模仿并做题。对于这类抽象的概念，还要创设必要的情境，让学生对新概念有一个体验和感知的过程。教师可以这样设问：“面积为2cm2的正方形，边长是多少？如何表示？你能估算出[2]大致是多少吗？”借助概念的引入，学生知道这个边长可用[2]表示，但[2]是不是一个数呢？如果是一个数，到底是多少呢？这个时候让学生进行研究思考，不到几分钟的时间，就有几名学生在坐标上画出[2]的长。当估算出[2]≈1.4（有的还推算得出[2]≈1.414）时，学生才知道，原来[2]也是一个实实在在的数。当然，±[2]、±[3]、±[5]也都是具体的数，一个非负数的平方根当然也是实实在在的数，也可用数轴上的数表示它们。有了这一个具体实际的体验和直观的验证后，学生对新概念的理解也就更深刻了。
　　学习分母有理化时，教师先创设问题情境，让学生计算[18]、[112]的近似值。有的学生通过查表得到[8]=2.828，所以[18]=0.3536。他们同样得出[112]=0.2887。这时，学生已感觉到了多位除数带来的麻烦。教师趁机启发学生，问他们能否避免这种麻烦。学生的探究欲望被这个开放性问题唤醒，纷纷进行尝试，经讨论后才知道，要避免麻烦的计算，应设法使分母不带根号。如何化去分母中的根号呢？有的学生想到平方，但此时分式的值变了;有的想到利用分式的性质，把分子和分母都乘以相同的根式，则可使分母中的根号转移到分子去，即[18]=[1·88·8]=[88];有的则先化简分母，即[18]=[122]。对[112]，学生也作了类似的讨论。这时，教师要进一步强化学生积极的学习体验，引导学生找规律，找模式，形成表达式，使学生享受成功的喜悦。在获得了[18]、[112]简便计算后，教师启发学生找这类问题的共性，即[1a]=[1·aa·a]=[aa]，然后再引入“分母有理化”和“有理化因式”这两个概念就水到渠成了。
　　由此观之，数学不能仅当“纯数学”，要让学生经历概念和数学思想等知识的形成过程，或者说学生有一个“领悟”的过程，这个过程可能是困难和缓慢的，但却是不可缺少的。
　　二、注重学生对问题进行的探究过程
　　教师要创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程，让学生经历数学知识的形成与应用过程。教师还要改变传统教学中的教师讲，学生听，教师先操作示范，学生再模仿练习的做法。
　　教学中对某些抽象的公式定理可以创设由特殊到一般的问题系列，让学生观察、思考和猜测。如学习互余的两个锐角的正、余弦的关系時，可设计成如下的系列问题，让学生猜测：
　　（1）你能比较sin30°、cos309°、sin45°、cos459°、sin60°、cos60°之间的大小吗？
　　（2）你能比较sin15°、cos15°、sin75°、cos75°之间的大小吗？结合直角三角形图形进行观察、分析，你发现了什么规律？
　　（3）利用上面发现的规律，你能很快判断出sin75°与哪个锐角的余弦值相等吗？你能画一个图来说明这一现象吗？
　　（4）你能把你的发现用数学语言概括吗？你能证明吗？
　　课本上是先让学生计算sin30°、cos30°、sin45°、cos45°、sin60°、cos60°，引导学生由sin30°=cos60°、cos30°=sin60°等式中推测出一般结果。这样的教学设计由于问题的指向性太强，具有明显的暗示，使“发现”变得轻而易举，因而缺乏探究性，学生并没有体会真正的知识发生过程。前面的问题系列具有较强的问题意识和探究性，对学生很有吸引力，学生从中可体验到合情推理这种非逻辑方式的奇妙威力，不仅能发现互余的两个锐角的正、余弦的关系，而且对正弦函数的单调性质也有所体会，学生兴趣浓厚，受到了数学智慧的熏陶。
　　借助现代教育技术，数学已同物理、化学一样，正在成为一门实验性学科。如学习圆周角时，教师让学生准备好直尺、量角器等工具，给每位学生一张印有局部航海图的练习纸，并在航海图旁提出问题：“A、B是两座灯塔，在弓形AMB内有暗礁（图略），游艇C在附近海面游弋，游艇上的导航员如何通过观测才能知道游艇有没有触礁的危险？”这是一个富有挑战性的实践问题，学生很有兴趣地开始测量探究、讨论，发现尽管在图纸上量出游艇C与圆心O的距离，就可知道是否有危险，但在情况复杂的海面上难以观测出圆心O的位置。到底如何确定游艇C在圆O外呢？在合作实验中，学生发现在航海中测量角比测量距离更方便。由于∠ACB易测，当游艇C靠近暗礁区域时，∠ACB越来越大，顶点C由圆外到圆内。角C的顶点在圆周上，这样的角有特殊性吗？教师组织学生动手测量，并尝试把问题抽象出来，看看能否从测量或特例中提出自己的猜测。实践证明，数学操作课深受学生欢迎，圆周角的特性和圆周角定理完全可以由学生自己探究出来。
　　 （作者单位：长阳土家族自治县第二高级中学）
　　责任编辑  张敏
转载注明来源:https://www.xzbu.com/1/view-15183184.htm