三维欧氏空间与旋转变换研究

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　　摘 要：公理化思想是数学学科中一种重要的思想方法。简而言之，公理化就是从一组简洁严谨，满足独立性和完备性的公理以及若干个准确恰当的基本概念出发，通过逻辑推理的方法，得到一个领域或者分支的所有重要性质和定理，从而构建起完备的理论体系。基于公理讨论能摆脱直观思维的局限，更易寻得事物的本质。三维欧式空间是一种重要的线性空间，是现实世界在低速宏观条件下的有效近似，三维欧氏空间中的旋转变换具有非常深刻的物理含义，是理解很多对称性物理的重要变换，但是这些重要的意义只有通过公理化的抽象表述才能得以展现。通过欧式空间的相关定义公理及基本概念，基于理性的逻辑思维，进行讨论推理，在不依赖于具体图形形状的条件下，以完全非直观的公理化方式推导出三维欧式空间中的坐標旋转变换公式，从中体现出公理化方法的强大和优美之处。
　　关键词：公理化;线性空间;欧式空间;旋转变换
　　中图分类号：G4 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.03.090
　　 三维的欧式空间是一种特殊的线性空间，高中阶段学习的几何便是存在于三维欧氏空间中，其特殊性和重要性来源于这是在非相对论和非量子力学的经典物理时空中的几何。高中阶段的教学，包含对三维立体几何的初步介绍以及部分基本空间性质的讨论。基于高中教材给出的公理，结合具体的三维图形，可以推导出三维欧式空间的部分性质，包括坐标旋转变换公式等。然而高中教材中虽写着“公理”，实则却并不是真正意义上具有独立性的公理，其描述的“公理”间甚至可互相推导，此时公理的给出更多以帮助初学者理解三维空间作为目的。但是这样的描述方式并不能体现数学抽象思维的魅力，过于依赖直观图像的推导方式，也不利于发现知识的隐藏结构，比如说角动量守恒是空间三维旋转不变性对应的守恒律，角动量在量子力学中的对应算符恰好是群论语言中三维旋转群的生成元，深刻地反映出角动量与三维旋转之间的内在联系。然而，这种通过抽象描述下显而易见的联系，在依赖直观的图形的推导中却难以为人所察觉。所以本文将尝试通过抽象的公理化语言，从基本定义出发，在不借助具体图形的情况下去描述三维欧式空间，推导出其坐标旋转变换公式。
　　1 基于直观几何图像的旋转变换
　　在引入公理化思想之前，不妨先通过直观方法推导三维欧式空间中的坐标旋转变换公式。已知三维欧式空间内存在矢量A，在标准右手三维坐标系中其坐标可表示为x0，y0，z0，现将其以Z轴为旋转轴将三维坐标轴旋转θ角度（规定在如图一的俯视视角上，物体旋转的正方向是逆时针方向）。则旋转后矢量A的坐标该如何变换？由于坐标轴绕Z轴旋转，所以Z轴的坐标是不变的，可以考虑将其视为X-Y平面内以原点为旋转中心的二维旋转。
　　这里，我们重新得到了以Z轴为轴旋转的变换矩阵。而在整个推导过程中，除了生成元是直接引入结果，其他的概念都是完全从公理化的形式语言定义出发，基于逻辑推理得到，不需要依赖任何可视化的图像。
　　4 总结
　　本文从线性空间的基本定义出来，引入线性相关，线性表出，空间维数，基底，向量坐标等重要概念，并且阐明了其相互之间的内在联系。在此基础上介绍内积的概念，引入欧式空间，将初等几何所涉及的空间和三维欧式空间相联系，通过讨论欧式空间中保持向量长度不变的变换，借助群论中无穷小变换和生成元的工具，推导出了以Z轴为旋转轴的三维旋转变换的变换矩阵。这个过程中，我们可以体会到公理化的抽象定义中所体现的数学结构的简洁和优美，以及概念之间的逻辑关联。当然，这个抽象的描述方式不仅更加优美，同时也更能体现知识的内在结构和深刻内涵。
　　参考文献
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