数学建模在生活中的应用
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作者: 李苑辉
摘要：数学建模就是学习如何把物理的复杂的世界用适当的数学语言描述出来，进而用数学的手段对模型加以分析，然后再用所得结论回归现实，指导实践。数学建模是联系实际与理论的桥梁，是应用数学知识解决实际问题的必经环节。将初等数学知识与生活中的实际问题相结合,介绍了几种常见类型的数学建模方法。
关键词：数学建模；最优化问题；金融与经济；估算与测量
中图分类号：G640文献标志码：A文章编号：1673-291X（2011）18-0321-02
数学来源于生活，又服务于生活。生活中的数学建模涉及到的问题比较贴近我们的实际，具有一定的实践性和趣味性，所需知识以初等数学为主，较容易入手与普及。因此，生活中的数学建模应成为培养大众数学应用意识、提高学生数学思维水平、分析和解决实际问题的能力的重要途径。
本文拟将初等数学知识与生活中的实际问题相结合，对几种常见类型的建模技巧进行简要的分析、归纳。
一、基本概念
数学模型：把某种事物系统的主要特征、主要关系抽象出来，用数学语言概括地或近似的表述出来的一种数学结构。它是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。
数学建模：建立数学模型解决实际问题过程的简称。
二、建模步骤
这里所说的建模步骤只是大体上的规范，实际操作中应针对具体问题作具体分析，灵活运用。数学建模的一般步骤如下：
1.准备模型。熟悉实际问题，了解与问题有关的背景知识，明确建模的目的。
2.建立模型。分析处理已有的数据、资料，用精确的数学语言找出必要的假设；利用适当的数学工具描述有关变量和元素的关系，并建立相应的数学模型（如方程、不等式、表格、图形、函数、逻辑运算式、数值计算式等）。在建模时，尽量采用简单的数学工具，以使模型得到更广泛的应用与推广。
3.求解模型。利用数学工具，对模型进行求解，包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、性质讨论等。对模型求解的结果进行分析，根据实际问题的性质分析各变量之间的依赖关系，有时需要根据所得结果给出数学式的预测和最优决策、控制等。
4.检验模型。把模型分析的结果返回到实际应用中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。通常，一个成功的模型不仅能够解释已知现象，而且还能预言一些未知现象。
如果检验结果与实际不符或部分不符，而且求解过程没有错误，那么问题一般出在模型假设上，此时应该修改或补充假设。如果检验结果与实际相符，并满足问题所要求的精度，则认为模型可用，便可进行模型应用与推广。
三、分类讨论
我们将按照初等数学知识在不同生活领域的应用，也即生活中的数学建模的不同题型作分类讨论。本文节选三类问题进行分析：最优化问题；金融与经济；估算与测量。
（一）最优化问题
最优化应用题包括工农业生产、日常生活、试验、销售、投资、比赛等方面，分最值问题、方案优化的选择、试验方案的制定等类型。对于最值问题，一般建立函数模型，利用函数的（最值）知识转化为求函数的最值；而对于方案的优化选择问题是将几种方案进行比较，选择最佳的方案。
例1（客房的定价问题）：一个星级旅馆有150个客房，每间客房定价相等，最高定价为198元，最低定价为88元。经过一段时间的经营实践，旅馆经理得到了一些数据：每间客房定价为198元时，住房率为55%；每间客房定价为168元时，住房率为65%；每间客房定价为138元时，住房率为75%每间客房定价为108元时，住房率为85%.欲使旅馆每天收入最高，每间客房应如何定价 ？
分析与思考：
据经理提供的数据，客房定价每下降30元，入住率即提高10个百分点。相当于平均每下降1元，入住率提高1/3个百分点。因此，可假设随着房价的下降，住房率呈线性增长。
这样，我们可通过建立函数模型来求解本题。设y表示旅馆一天的总收入，与最高价198元相比每间客房降低的房价为x元，可建立数学模型：
y=150×（198-x）×0.55+x
解得，当x=16.5时，y取最大值16 471.125元，即最大收入对应的住房定价为181.5元。如果为了便于管理，定价为180元/（间•天）也是可以的，因为此时总收入y=16 470元，与理论上的最高收入之差仅为1.125元。
本题建模的关键在于：根据房价的降幅与住房率的升幅关系，假设两者存在着线性关系。
（二）金融与经济
现代经济生活中，人与金融之间的关系日益密切。金融类的题目注重了针对性、典型性、新颖性和全面性，因而对数学素质方面的要求就更高。
涉及金融与经济的建模题常见的有投资问题、住房贷款问题、分期付款问题、证券问题等。一般的做法是通过数学建模将此类题型转化为初等数学中的常用知识点来解决，如数列问题、幂函数问题、不等式问题等。
例2（购房贷款）：小李年初向银行贷款20万元用于购房。已知购房贷款的年利率优惠为10%，按复利计算。若这笔贷款要求分10次等额归还，每年一次，并从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元（精确到1元） ？
分析与思考：
已知贷款数额、贷款利率、归还年限，要求出每年的归还额。本题即可化为求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系。
不妨先把这个问题作一般化处理。设某人向银行贷款元M0，年利率为α，按复利计算（即本年的利息记入次年的本金生息），并从借款后次年年初开始每次k元等额归还，第n次全部还清。那么，一年后欠款数M1=（1+α）M0-k
两年后欠款数M2=（1+α）M1-k =（1+α）2M0-k[（1+α）+1]
………………
n年后欠款数Mn=（1+α）Mn-1-k=（1+α）M0-
由Mn=0可得k=
这就是每年归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限之间的关系式。
对于上述购房问题，将α=0.1，M0=200 000，n=10代入得
k= ≈32 549.6（元）
故每年应还32 550元。
本题建模的关键在于：将求每年的归还额与贷款数额、贷款利率、归还年限的关系化为数列计算问题。
（三）估算与测量
估计与测量是数学中最古老的问题。估算与测量类的建模题，其背景包括人们日常生活和生产、科学技术等方面的一些测量、估算、计算。
对于估算与测量的题目，一般要先理解好题意，正确建模，然后通过周密的运算，找出结论。这类题目常常可转化为函数、不等式、数列、二项式定理展开式、三角函数等知识进行处理。
例3（挑选水果问题）：上街买水果，人们总喜欢挑大的，这是否合理呢 ？
分析与思考：
从什么角度来分析此问题呢 ？要判断合理与否，首先要明确判断的标准。一般来说，买水果主要供食用。故下面从可食率这个角度加以分析。
水果种类繁多，形状各异，但总的是近似球形居多。故可假设水果为球形，半径为R，建立一个球的模型来求解此题。
挑选水果的原则是可食率较大。由于同种水果的果肉部分的密度分布均匀，则可食率可以用可食部分与整个水果的体积之比来表示。分以下几种不同类型的水果分别剖析：
1.果皮较厚且核较小的水果，如西瓜、橘子等。同类水果的皮厚度差异不大，假设是均匀的，其厚为d，易得
可食率＝=1-3
2.果皮较厚且有核（或籽集）较大的水果，如南方的白梨瓜等。此类水果计算可食率时，不但要去皮且要去核。设核半径为kR（k为常数，0
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