指数模型x0ert在经济中的应用

来源:用户上传      作者: 孙 伟

　　摘要:指数模型x0ert在生物、考古等领域有着广泛的应用。它主要反映了实际生活中,一些事物的增长或衰减的规律。文章通过实例论述了指数模型在生物、考古、等经济领域的应用及预测的准确性
　　关键词:指数模型;应用
　　
　　指数模型x0ert在人口增长、考古、生物等经济领域有着广泛的应用。主要反映了现实世界中,一些事物的增长或衰减的规律。如人口增长、生物的生长、细胞的繁殖、放射性元素的衰变、设备折旧、连续复利的计算等都服从此数学模型。该模型A0ert的基本假设是增长率或衰减率是不变的。
　　一、人口增长模型
　　资源的匮乏,人口的增长已成为全人类面临的重大问题之一。英国人口学家马尔萨斯根据百余年(1766-1834)的人口统计资料,提出了人口增长按指数x(t)=x0ert增长的论断。即人口增长模型也称马尔萨斯模型
　　设时刻t的人口为x(t),我们假设x(t)是可微的。假设初始时刻t=0时的人口为x0,人口的增长率为r,它表示单位时间内x(t)的增量Δx与x(t)的比例系数。则
　　在时间Δt内人口增量为
　　Δx=x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt于是得到微分方程
　　=rxx(0)=x
　　解微分方程,进行变量分离得到人口增长数为
　　x(t)=x0ert
　　例如:设人口自然增长率(出生率与死亡率之差)为1%,问几年后人口将翻一番?
　　解:2x=xe=xe
　　两边取自对数
　　t=≈69(年)
　　按1%人口增长率经过69年后人口将翻一番。
　　马尔萨斯模型还是有一定的局限性,因为它假设人口增长率是不变的,因而此模型随着客观环境的变化,对于实际预测的准确率大大降低。在过去美国实际人口与指数模型的比较如表1所示:
　　历史上统计数据表明,该模型早期与实际人口数量增长还是比较吻合的。但是随着自然资源、环境等诸多因素的变化。人口数量的增长受到客观环境的制约,人口增长规律发生了较大的变化,因而后期又出现了阻滞增长模型等。
　　二、放射性元素的衰变
　　放射性元素通过放射粒子而衰变的过程称为放射性元素的衰变。其模型的建立与人口增长模型类似.在人口增长模型中把人群中的每个个体理解为放射性元素的原子。于是有:
　　设时刻t的原子数为N(t),我们假设N(t)是可微的,假设初始时刻t=0时的原子数为N0,λ为放射性物质单位时间内衰变的比率。与人口增长模型不同的是放射性元素中原子数量是不断衰减的。因而有微分方程
　　=-λNN(0)=NN>0,λ>0,
　　变量分离解得
　　N(t)=N0e-λt
　　与人口增长模型不同的是,指数模型用于描述放射性物质的衰变,准确率是比较高的。一般用于地质年代的测定和考古记年的问题。如利用碳-14确定马王堆一号墓的年代。
　　马王堆一号墓于1972年出土,测得出土样本放射14C的放射性蜕变物的速率为每秒29.78次,而新砍伐烧成的木炭中放射14C的放射性蜕变物的速率为每秒38.37次,确定马王堆一号墓葬的年代
　　设t=0为墓葬的时刻,t=t1为墓出土的时刻,则N(t)=Ne,于是
　　==e
　　其中λ=,半衰期T=5730代入观测值 ,解得t1≈2095
　　即墓葬于2095前,也就是公元前120年左右,这与马王堆出土的文物的考证是一致的。
　　三、连续复利的计算
　　利用建立模型计算连续复利的方式与人口增长模型完全一样。在此我们也可用下面的方式推得:
　　设储蓄存款的本金为A0,年利率为 r,若立即产生,立即结算,t年后本利和(连续复利)是多少?
　　解:满t年后,本利和为A0(1+r)t
　　如果一年分m期结算,年利率为r ,则每期利率为,于是
　　满t年的本利和为:A(1+)。
　　当一年结算次数m无限增大,也就立即产生立即结算,满t年的本利和为:
　　A=limA(1+)=Ae
　　在此称Ae为连续复利。
　　如把一元钱存入银行,年利率为10%,10年后的本利和为:
　　A0e0.1t=1×e0.1×10=e
　　连续复利与我们日常生活的单利计息是不同的。
　　四、仪器、厂房折旧问题
　　仪器、厂房,由于使用磨损,经过一段时间后,它们的实际价值会有所下降,都存在折旧问题。如当前二手房市场中,二手房的折旧问题。
　　设最初时刻t=0时的厂房价值为Q0,年后厂房价值为Q(t),λ为厂房单位时间价值减少的比率即折旧率。与放射性元素的衰变模型推导过程一样得到,仪器、厂房折旧模型为
　　Q(t)=Q0e-λt
　　例1:设有一厂房原来价值为100000元,因为它不断变旧,每年减少价值0.9%,问10年后,该厂房的价值为多少?
　　厂房折旧率为λ=0.9%
　　10年后厂房的价值为Q=100000e-0.9%×10=≈91393.48(元)
　　例2:某种仪器最初价值为Q0由于长期磨损,使用t年后其价值可由模型Q(t)=Q0e-0.04t确定。
　　20年后该仪器的价值为多少?
　　解:20年后该仪器的价值Q(t)=Q0e-0.04t=8986.58(元)
　　类似的应用指数模型还有很多。如在稳定的理想状态下,设生物中细菌的繁殖率是稳定的为k,在时间的t秒内细菌的繁殖数为Q(t)=aekt,a代表t=0时的细菌数。
　　综上所述,数学模型是同一个x0ert,但是在不同领域各有不同的用途,且预测的准确率也各不相同,这就需要我们将理论推导、研究与客观现实相结合,正确地分析研究、认识客观事物。充分利用模型x0ert的优势资源,合理科学地加以利用。
　　参考文献:
　　1、洪毅等.经济数学模型[M].华南理工大学出版社,2003.
　　2、刘来福.问题解决的数学模型[M].北京师范大学出版社,1999.
　　3、曹喜望.管理科学中的数学模型[M].北京大学出版社,2006.
　　*文章系黑龙江省新世纪高等教育教学改革工程项目“财经类院校以经济数学计算方法为导向的高数教学实践研究”的阶段性成果;中国高教学会十一五规划课题子课题(D308014)。
　　(作者单位:哈尔滨金融高等专科学校)

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