基于μ－λ指数分布的快餐店最佳服务时间模型

来源:用户上传      作者: 马醒花　刘春凤　杨爱民

　　在市场经济发展的今天，快餐业的竞争也日渐激烈,于是快餐店经营者希望采取的策略有一个定性、定量的分析。某些快餐店公宣布：若顾客等待超过一定时间，那么可以免费享受所订的快餐。经营者希望对于此策略的利弊有一个定量的分析，本文在最佳服务时间模型的基础上给出解决这个问题的一种方法：基于指数分布的快餐店最佳服务时间模型。
　　一、模型的建立与求解
　　模型假设:顾客平均到达率为为平均到达间隔；快餐店平均服务率为平均服务时间，且。设的最大值，当时承诺无吸引力，不妨设此时。设每位顾客的订餐费为，成本为。
　　模型建立:可假设顾客等待时间（记做随机变量Y）服从参数的指数分布，即
　　对于等待时间为Y的每位顾客设店方获得的利润为，则在宣布承诺时间为u的情况下有,利润Q的期望值为,因为到达的平均时间间隔为c，所以单位时间利润的期望值为。
　　建模的目的是确定承诺时间u使利润最大。
　　下面根据c和u关系的假设确定函数c(u)。因为可以假定C(0)=0（理解为的时候顾客将无穷多），当时（因为这时相当于不作承诺），所以若假设在时，c与u成正比，并且由于的基本要求。必须。于是可表示为：
　　
　　则，其中
　　中除u外均为已知常数，问题化为求u使最大。
　　模型求解：对于按u的不同范围分别求解。
　　当，用微分法求出u的最优值应满足:
　　且算出的最大值为:。
　　当，显然，时，最大，且
　　比较和可知，可得最大值问题解应为：
　　
　　进一步分析可作承诺的条件，记则（9）式变为:，
　　由此推出:，有，因为a为的函数，即
　　
　　若定义:,则当给定时，快餐店可以作承诺的条件可以表示为平均服务时间d满足，在这个条件下最优承诺时间可确定。与不作承诺时的利润相比，此时的利润为：。
　　二、模型检验
　　表
　　如表的假设下，问能否承诺服务了免费供餐。若店方有能力将平均服务时间缩短到d=30秒，问能否承诺。承诺时间的最优值和利润可比目前增加值是否可求。
　　根据模型求解，可将代入可得
　　
　　利用mathematica解方程得到，运行结果中，将其代入可得到（秒）。目前的平均服务时间秒，不满足条件，所以不能对顾客做承诺。
　　当平均服务时间缩短至秒时，满足条件，店方可做出承诺，且分，此时顾客的平均到达时间由原来的分缩短到分。此时利润 ，即利润提高了.
　　本文对于顾客到达规律、服务时间和排队规律，以及在承诺“服务慢了将免费供餐”以后，承诺的时间与顾客的增多之间的关系做了合理的假设，给出了基于指数分布的快餐店最佳服务时间模型，并给出了模型的解析解，最后又进行了实例检验，从理论和数值上都验证了改模型的合理性和可用性。这对于最佳服务时间模型的研究和应用有重要的意义。
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

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